Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( m_{di} = 400 \text{ g} \)
\( m_{\text{apă}} = 1200 \text{ g} \)
\( m_{si} = m_{di} + m_{\text{apă}} = 400 \text{ g} + 1200 \text{ g} = 1600 \text{ g} \)
\( c_i = \frac{m_{di}}{m_{si}} \cdot 100 = \frac{400}{\cancel{1600}_4} \cdot \cancel{100}^{25} = 25\% \neq 40\% \)
Rețeta a fost greșită (\( 25\% < 40\% \)), se adaugă zahăr.
Fie \( x \) masa de zahăr adăugată:
\( m_{df} = 400 + x \)
\( m_{sf} = 1600 + x \)
\( c_f = \frac{m_{df}}{m_{sf}} \cdot 100 \)
\( 40 = \frac{400 + x}{1600 + x} \cdot 100 \)
\( \cancel{40}^2 = \frac{5 \cdot (400 + x)}{1600 + x} \)
\( 2 \cdot (1600 + x) = 5 \cdot (400 + x) \)
\( 3200 + 2x = 2000 + 5x \)
\( 3x = 1200 \)
\( x = 400 \text{ g} \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Calcularea concentrației siropului preparat de bunică
Notăm datele inițiale: - masa zahărului dizolvat: \( m_{di} = 400 \text{ g} \) - masa apei: \( m_{\text{apă}} = 1200 \text{ g} \) Masa inițială a siropului (a soluției) este: \[ m_{si} = m_{di} + m_{\text{apă}} = 400 \text{ g} + 1200 \text{ g} = 1600 \text{ g} \] Calculăm concentrația procentuală masică a siropului obținut: \[ c_i = \frac{m_{di}}{m_{si}} \cdot 100 = \frac{400}{\cancel{1600}_4} \cdot \cancel{100}^{25} = 25\% \] Deoarece \( 25\% < 40\% \), bunica a greșit rețeta. Siropul obținut este mai diluat decât cel dorit. Pentru a atinge concentrația de \( 40\% \), este necesară adăugarea unei mase suplimentare de zahăr.Pasul 2: Determinarea masei de zahăr necesare pentru corectarea siropului
Fie \( x \) masa de zahăr ce trebuie adăugată. Prin adăugarea a \( x \text{ g} \) de zahăr: - noua masă de substanță dizolvată devine: \[ m_{df} = m_{di} + x = 400 + x \] - noua masă a soluției devine: \[ m_{sf} = m_{si} + x = 1600 + x \] Concentrația finală dorită este \( c_f = 40\% \). Scriem formula concentrației: \[ c_f = \frac{m_{df}}{m_{sf}} \cdot 100 \] Înlocuim valorile cunoscute: \[ 40 = \frac{400 + x}{1600 + x} \cdot 100 \] Simplificăm ecuația împărțind ambele părți la \( 20 \): \[ \cancel{40}^2 = \frac{400 + x}{1600 + x} \cdot \cancel{100}^5 \] \[ 2 = \frac{5 \cdot (400 + x)}{1600 + x} \] Înmulțim ambele părți cu numitorul \( 1600 + x \): \[ 2 \cdot (1600 + x) = 5 \cdot (400 + x) \] \[ 3200 + 2x = 2000 + 5x \] \[ 5x - 2x = 3200 - 2000 \] \[ 3x = 1200 \] \[ x = \frac{1200}{3} = 400 \text{ g} \] Astfel, bunica trebuie să adauge încă \( 400 \text{ g} \) de zahăr la siropul deja preparat.Rezolvare scurtă:
\( m_{si} = 400 + 1200 = 1600 \text{ g} \)
\( c_i = \frac{400}{\cancel{1600}_4} \cdot \cancel{100}^{25} = 25\% \neq 40\% \)
\( 40 = \frac{400 + x}{1600 + x} \cdot 100 \Rightarrow 2 \cdot (1600 + x) = 5 \cdot (400 + x) \Rightarrow 3x = 1200 \Rightarrow x = 400 \text{ g} \) zahăr
