Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Comparare: Numărul cu mai multe cifre este mai mare (\(10\,234 > 9\,999\)). Dacă au număr egal de cifre, comparăm poziție cu poziție de la stânga la dreapta (\(7\,456 > 7\,439\) deoarece la zeci \(5 > 3\)).
- Axa numerelor: Orice număr din dreapta este mai mare decât cel din stânga sa. Numere consecutive: \(n\) și \(n+1\) (predecesorul și succesorul).
- Intervale: De la \(a\) la \(b\) (inclusiv capetele) avem \(b - a + 1\) numere; exclusiv capetele avem \(b - a - 1\) numere.
- Aproximare și Rotunjire (pentru numărul 1.348 la sute):
- Lipsă (sute): \(1\,300\)
- Adaos (sute): \(1\,400\)
- Rotunjire (sute): \(1\,300\) (cifra zecilor fiind 4, care este mai mică decât 5).
Pentru a compara două numere naturale, stabilim care dintre ele este mai mare (\(>\)), mai mic (\(<\)) sau dacă sunt egale (\(=\)).
Reguli de comparare:
- Număr diferit de cifre: Este mai mare numărul care are mai multe cifre.
Exemplu: \( 306\,798 > 77\,996 \) (6 cifre este mai mare decât 5 cifre). - Același număr de cifre: Se compară cifrele de la stânga la dreapta, de la ordinul cel mai mare, până când găsim două cifre diferite de același ordin. Numărul cu cifra mai mare la acel ordin este mai mare.
Exemplu: \( 56\,721 < 56\,903 \), deoarece primele două cifre sunt egale (\(5=5\), \(6=6\)), iar la ordinul sutelor avem \(7 < 9\).
Ordonarea reprezintă așezarea numerelor în ordine crescătoare (de la cel mai mic la cel mai mare) sau descrescătoare (de la cel mai mare la cel mai mic).
O axă a numerelor este o dreaptă pe care alegem o origine \(O\) (corespunzătoare numărului 0), un sens de parcurgere de la stânga la dreapta (sens pozitiv) și o unitate de măsură (u.m.).
Fiecare punct de pe axă corespunde unui număr natural numit coordonata sa. Se notează sub forma: \(A(1)\), \(F(3)\), \(P(6)\).
Dintre două numere naturale reprezentate pe axă, cel mai mare se află întotdeauna poziționat la dreapta celuilalt.
Exemplu: \(1\,027 > 1\,024\) deoarece pe axă numărul \(1\,027\) se află în dreapta lui \(1\,024\).
Exemplu: \(1\,027 > 1\,024\) deoarece pe axă numărul \(1\,027\) se află în dreapta lui \(1\,024\).
Două numere naturale alăturate pe axa numerelor se numesc consecutive. Diferența dintre ele este întotdeauna 1.
Dacă avem numărul natural \(n\):
- Numărul \(n - 1\) se numește predecesorul lui \(n\) (numărul aflat imediat în stânga sa pe axă).
- Numărul \(n + 1\) se numește succesorul lui \(n\) (numărul aflat imediat în dreapta sa pe axă).
Numărul de valori naturale între două limite \(a\) și \(b\) (\(a < b\)):
- Inclusiv ambele capete (\(a \le n \le b\)): \[ N = b - a + 1 \]
- Inclusiv doar unul dintre capete (\(a \le n < b\) sau \(a < n \le b\)): \[ N = b - a \] Exemplu: Pentru \(20 \le n < 26\), avem \(26 - 20 = 6\) numere (\(20, 21, 22, 23, 24, 25\)).
- Exclusiv ambele capete (între \(a\) și \(b\), adică \(a < n < b\)): \[ N = b - a - 1 \] Exemplu: Între 3 și 8 sunt \(8 - 3 - 1 = 4\) numere (\(4, 5, 6, 7\)).
A estima înseamnă a evalua aproximativ o mărime pe baza unor date incomplete sau parțiale.
Aproximarea prin lipsă la un anumit ordin (zeci, sute, mii etc.) este cel mai mare număr format din zeci/sute/mii mai mic sau egal cu numărul dat (se înlocuiesc cifrele de după ordinul respectiv cu 0).
Aproximarea prin adaos la un anumit ordin este cel mai mic număr format din zeci/sute/mii strict mai mare decât numărul dat (se mărește cifra ordinului respectiv cu o unitate și se înlocuiesc cifrele de după cu 0).
Rotunjirea reprezintă cea mai apropiată aproximare (prin lipsă sau prin adaos) de numărul inițial.
Regulă practică: Dacă prima cifră care se elimină (cea din dreapta ordinului la care se face rotunjirea) este 0, 1, 2, 3 sau 4, rotunjirea coincide cu aproximarea prin lipsă. Dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, se alege aproximarea prin adaos.
Regulă practică: Dacă prima cifră care se elimină (cea din dreapta ordinului la care se face rotunjirea) este 0, 1, 2, 3 sau 4, rotunjirea coincide cu aproximarea prin lipsă. Dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, se alege aproximarea prin adaos.
| Numărul | Aproximarea prin lipsă la | Aproximarea prin adaos la | Rotunjirea la | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| zeci | sute | mii | zeci | sute | mii | zeci | sute | mii | |
| 4 266 | 4 260 | 4 200 | 4 000 | 4 270 | 4 300 | 5 000 | 4 270 | 4 300 | 4 000 |
| 24 158 | 24 150 | 24 100 | 24 000 | 24 160 | 24 200 | 25 000 | 24 160 | 24 200 | 24 000 |
| 356 841 | 356 840 | 356 800 | 356 000 | 356 850 | 356 900 | 357 000 | 356 840 | 356 800 | 357 000 |
Probleme practice
Exercițiul 1 (Ușor):
Comparați numerele \( 84\,512 \) și \( 84\,509 \), explicând metoda pas cu pas.
Ambele numere au același număr de cifre (5 cifre). Comparăm cifrele de la stânga la dreapta:
- Zeci de mii: \( 8 = 8 \)
- Mii: \( 4 = 4 \)
- Sute: \( 5 = 5 \)
- Zeci: \( 1 > 0 \)
Exercițiul 2 (Mediu):
Determinați câte numere naturale \( n \) verifică dubla inegalitate:
\[ 142 \le n < 205 \]
Inegalitatea este de forma \( a \le n < b \), ceea ce înseamnă că intervalul include capătul din stânga (\( 142 \)), dar exclude capătul din dreapta (\( 205 \)).
Formula aplicabilă este \( b - a \): \[ N = 205 - 142 = 63 \text{ de numere} \] Răspuns: Există 63 de numere naturale care verifică relația.
Formula aplicabilă este \( b - a \): \[ N = 205 - 142 = 63 \text{ de numere} \] Răspuns: Există 63 de numere naturale care verifică relația.
Exercițiul 3 (Dificil):
Găsiți cel mai mic și cel mai mare număr natural de 4 cifre care, prin rotunjire la sute, devine \( 2\,500 \).
Căutăm numerele de forma \( \overline{abcd} \) care se rotunjesc la sute la \( 2\,500 \).
Ordinul sutelor este indicat de cifra \( c \) (zeci). Dacă cifra zecilor este \( \ge 5 \), rotunjirea se face prin adaos. Dacă este \( < 5 \), se face prin lipsă.
- Cel mai mic număr: Se obține prin aproximare prin adaos. Numerele de la \( 2\,450 \) la \( 2\,499 \) au cifra zecilor cel puțin 5, deci se rotunjesc prin adaos la \( 2\,500 \). Cel mai mic dintre acestea este \( 2\,450 \).
- Cel mai mare număr: Se obține prin aproximare prin lipsă. Numerele de la \( 2\,500 \) la \( 2\,549 \) au cifra zecilor mai mică decât 5, deci se rotunjesc prin lipsă la \( 2\,500 \). Cel mai mare dintre acestea este \( 2\,549 \).
