Cele mai importante aspecte ale lecției
Pe scurt despre reprezentarea grafică:
• Se realizează într-un sistem cu axa timpului (\(t\)) pe orizontală și axa poziției (\(x\)) pe verticală.
• Linie orizontală: Mobilul stă pe loc (repaus, \(v=0\)).
• Linie oblică ascendentă: Mobilul se depărtează de origine (viteză constantă). Cu cât linia e mai abruptă, cu atât viteza e mai mare.
• Linie oblică descendentă: Mobilul se întoarce spre origine.
• Viteza între două puncte A și B de pe grafic se află mereu prin raportul: \( v = \frac{x_B - x_A}{t_B - t_A} \).
• Se realizează într-un sistem cu axa timpului (\(t\)) pe orizontală și axa poziției (\(x\)) pe verticală.
• Linie orizontală: Mobilul stă pe loc (repaus, \(v=0\)).
• Linie oblică ascendentă: Mobilul se depărtează de origine (viteză constantă). Cu cât linia e mai abruptă, cu atât viteza e mai mare.
• Linie oblică descendentă: Mobilul se întoarce spre origine.
• Viteza între două puncte A și B de pe grafic se află mereu prin raportul: \( v = \frac{x_B - x_A}{t_B - t_A} \).
Graficul mișcării ne arată cum se modifică poziția unui corp (mobil) în funcție de timp. Pentru a-l construi, se folosesc axe de coordonate.
Se realizează un tabel de valori. Se înregistrează momentele de timp (\(t\)) și pozițiile corespunzătoare (\(x\)) ale mobilului.
| \(t\) (s) | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(x\) (m) | 10 | 20 | 30 |
Se trasează și se notează axele.
- Axa orizontală (abscisa) este întotdeauna axa timpului. Se notează cu \(t\) și unitatea de măsură (ex: s, min, h).
- Axa verticală (ordonata) este axa poziției/distanței. Se notează cu \(x\) (sau \(d\)) și unitatea de măsură (ex: m, km).
- Punctul de intersecție este originea \(O(0,0)\).
Se calibrează axele și se reprezintă punctele. Se alege o scară convenabilă (din cm în cm sau pătrățele) pentru a trece valorile pe axe. Fiecare pereche de valori \((t, x)\) din tabel devine un punct pe grafic la intersecția liniilor imaginare duse din dreptul valorilor.
Nu confunda traiectoria cu graficul! Traiectoria este drumul real parcurs în spațiu, în timp ce graficul este o reprezentare matematică a poziției în funcție de timp.
Forma liniei trasate pe grafic ne oferă informații directe despre starea mobilului și viteza sa.
Mișcare rectilinie uniformă: Graficul este o dreaptă înclinată (ascendentă sau descendentă).
Starea de repaus: Graficul este o dreaptă orizontală (paralelă cu axa timpului). Timpul trece, dar poziția \(x\) rămâne aceeași.
Comparația vitezelor: Cu cât dreapta este mai înclinată (formează un unghi mai mare cu orizontala), cu atât viteza este mai mare.
Întoarcerea: Dacă valoarea lui \(x\) începe să scadă (dreapta este descendentă), înseamnă că mobilul se întoarce spre originea sistemului de referință.
Folosind coordonatele punctelor de pe grafic, putem calcula deplasarea și viteza mobilului pe orice interval de timp.
Deplasarea între două momente de timp:
\[ d = x_{final} - x_{inițial} \]
* Reprezintă diferența pozițiilor citite pe axa verticală.
Viteza mobilului pe un interval:
\[ v = \frac{d}{\Delta t} = \frac{x_{final} - x_{inițial}}{t_{final} - t_{inițial}} \]
* Unde \(\Delta t\) este durata deplasării citită pe axa orizontală.
Pentru a afla distanța totală parcursă, se calculează separat distanța la ducere și distanța la întoarcere (în valoare absolută/fără semnul minus), apoi se adună:
\[ d_{total} = d_{dus} + d_{întors} \]
Probleme practice
Ușoară: Analizând graficul de mișcare al unui corp, se observă că între secundele \(t_1 = 4\text{ s}\) și \(t_2 = 10\text{ s}\), segmentul reprezentat este o linie perfect orizontală în dreptul valorii \(x = 25\text{ m}\). Care este starea corpului în acest interval și ce distanță a parcurs?
Răspuns: Deoarece poziția \(x\) nu se modifică (rămâne 25 m pe tot parcursul intervalului), corpul se află în stare de repaus. Distanța parcursă în acest interval este 0 m.
Medie: Un biciclist pornește din repaus. Pe graficul său de mișcare, la momentul \(t_1 = 2\text{ s}\) poziția este \(x_1 = 10\text{ m}\), iar la momentul \(t_2 = 6\text{ s}\) poziția este \(x_2 = 30\text{ m}\). Calculați viteza biciclistului în acest interval de timp.
Rezolvare:
Aplicăm formula vitezei extrase din grafic: \[ v = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \] \[ v = \frac{30\text{ m} - 10\text{ m}}{6\text{ s} - 2\text{ s}} \] \[ v = \frac{20\text{ m}}{4\text{ s}} = 5\text{ m/s} \] Răspuns: Viteza este de \(5\text{ m/s}\).
Aplicăm formula vitezei extrase din grafic: \[ v = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \] \[ v = \frac{30\text{ m} - 10\text{ m}}{6\text{ s} - 2\text{ s}} \] \[ v = \frac{20\text{ m}}{4\text{ s}} = 5\text{ m/s} \] Răspuns: Viteza este de \(5\text{ m/s}\).
Dificilă: Un mobil pornește din originea sistemului de axe (\(x=0\)). Se deplasează uniform timp de 5 secunde până la distanța de \(40\text{ m}\). Acolo staționează timp de 3 secunde, după care se întoarce direct în origine în următoarele 2 secunde. Calculați distanța totală parcursă de mobil de la plecare până la întoarcere și viteza cu care s-a întors.
Rezolvare:
1) Distanța totală: Mobilul parcurge 40 m la ducere. La întoarcere, pleacă de la poziția de 40 m înapoi la 0 m, deci mai parcurge 40 m. \[ d_{total} = d_{dus} + d_{întors} = 40\text{ m} + 40\text{ m} = 80\text{ m} \]
2) Viteza la întoarcere: Întoarcerea se face în intervalul de 2 secunde. Pe acest interval, distanța parcursă este de 40 m. \[ v_{întors} = \frac{d_{întors}}{\Delta t_{întors}} = \frac{40\text{ m}}{2\text{ s}} = 20\text{ m/s} \] Notă: Dacă s-ar cere matematic panta, ar fi negativă (\(-20\text{ m/s}\)), indicând sensul opus axei, dar valoarea vitezei (modulul) este \(20\text{ m/s}\).
1) Distanța totală: Mobilul parcurge 40 m la ducere. La întoarcere, pleacă de la poziția de 40 m înapoi la 0 m, deci mai parcurge 40 m. \[ d_{total} = d_{dus} + d_{întors} = 40\text{ m} + 40\text{ m} = 80\text{ m} \]
2) Viteza la întoarcere: Întoarcerea se face în intervalul de 2 secunde. Pe acest interval, distanța parcursă este de 40 m. \[ v_{întors} = \frac{d_{întors}}{\Delta t_{întors}} = \frac{40\text{ m}}{2\text{ s}} = 20\text{ m/s} \] Notă: Dacă s-ar cere matematic panta, ar fi negativă (\(-20\text{ m/s}\)), indicând sensul opus axei, dar valoarea vitezei (modulul) este \(20\text{ m/s}\).
