Cele mai importante aspecte ale lecției
Triunghiul dreptunghic: Are un unghi de \( 90^\circ \), două catete și o ipotenuză.
Funcții trigonometrice: Depind strict de unghiul considerat: \[ \sin \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}, \quad \cos \alpha = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}, \quad \text{tg } \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} \] Relații de calcul fundamentale:
Funcții trigonometrice: Depind strict de unghiul considerat: \[ \sin \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}, \quad \cos \alpha = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}, \quad \text{tg } \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} \] Relații de calcul fundamentale:
- Formula trigonometrică fundamentală: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
- Teorema lui Pitagora: \( c_1^2 + c_2^2 = i^2 \)
- Unghiuri complementare: \( \cos x^\circ = \sin (90^\circ - x^\circ) \)
Un triunghi dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (cu măsura de \( 90^\circ \)).
Ipotenuza reprezintă latura opusă unghiului drept (este cea mai lungă latură a triunghiului).
Catetele sunt cele două laturi perpendiculare care formează unghiul drept. În raport cu un unghi ascuțit \( \alpha \), distingem:
- Cateta opusă: latura aflată în fața unghiului \( \alpha \);
- Cateta alăturată: latura care formează unghiul \( \alpha \) alături de ipotenuză.
Mărimile laturilor unui triunghi dreptunghic pot fi determinate complet dacă se cunosc:
- mărimea unei laturi și măsura unui unghi ascuțit;
- mărimile a două laturi.
Funcțiile trigonometrice ale unui unghi ascuțit \( \alpha \) depind doar de măsura unghiului, fiind independente de dimensiunile triunghiului dreptunghic ales.
\[ \sin \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} \]
\[ \cos \alpha = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} \]
\[ \text{tg } \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} \]
\[ \text{ctg } \alpha = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}} \]
Într-un triunghi dreptunghic cu cateta opusă de \( 3\text{ cm} \), cateta alăturată de \( 4\text{ cm} \) și ipotenuza de \( 5\text{ cm} \):
\[ \sin \alpha = \frac{3}{5} = 0,6; \quad \cos \alpha = \frac{4}{5} = 0,8; \quad \text{tg } \alpha = \frac{3}{4} = 0,75 \]
Dacă într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului \( \alpha \) are lungimea de \( 6\text{ cm} \), iar ipotenuza este de \( 10\text{ cm} \), cât este valoarea lui \( \sin \alpha \)?
Aplicând definiția funcției sinus:
\[ \sin \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{6\text{ cm}}{10\text{ cm}} = 0,6 \]
Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
\[ (\text{cateta opusă})^2 + (\text{cateta alăturată})^2 = (\text{ipotenuză})^2 \]
Formula fundamentală a trigonometriei:
\[ (\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1 \]
Relația între unghiuri complementare: Cosinusul unui unghi este egal cu sinusul complementului său (\( 90^\circ - x^\circ \)):
\[ \cos x^\circ = \sin(90^\circ - x^\circ) \]
Exemplu: \( \cos 40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin 50^\circ \approx 0,766 \).
Identifică unghiul ascuțit cunoscut și latura dată în enunț.
Alege funcția trigonometrică care leagă latura cunoscută de latura necunoscută.
Extrage valoarea funcției trigonometrice din tabele matematice sau cu ajutorul unui calculator științific.
Exprimă algebric latura căutată și calculează valoarea numerică.
Fie un triunghi dreptunghic cu unghiul \( B = 20^\circ \) și cateta opusă \( AC = 8\text{ cm} \).
Din tabele: \( \sin 20^\circ \approx 0,342 \) și \( \text{tg } 20^\circ \approx 0,364 \).
Din tabele: \( \sin 20^\circ \approx 0,342 \) și \( \text{tg } 20^\circ \approx 0,364 \).
- Ipotenuza: \( BC = \frac{AC}{\sin 20^\circ} = \frac{8}{0,342} \approx 23,4\text{ cm} \)
- Cateta alăturată: \( AB = \frac{AC}{\text{tg } 20^\circ} = \frac{8}{0,364} \approx 21,9\text{ cm} \)
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Într-un triunghi dreptunghic în \( B \), unghiul \( A \) are măsura de \( 30^\circ \), iar cateta opusă acestuia este \( BC = 6\text{ cm} \). Știind că \( \sin 30^\circ = 0,5 \), aflați lungimea ipotenuzei \( AC \).
Folosim formula sinusului pentru unghiul \( A \):
\[ \sin A = \frac{BC}{AC} \implies AC = \frac{BC}{\sin A} \]
Înlocuind valorile:
\[ AC = \frac{6\text{ cm}}{\sin 30^\circ} = \frac{6\text{ cm}}{0,5} = 12\text{ cm} \]
Problema 2 (Medie): Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de \( 45^\circ \) și cateta alăturată acestuia de lungime \( 2\text{ cm} \). Cunoscând \( \text{tg } 45^\circ = 1 \) și \( \sin 45^\circ \approx 0,707 \), determinați cealaltă catetă și ipotenuza.
Notăm cateta alăturată \( c_1 = 2\text{ cm} \), cateta opusă \( c_2 \) și ipotenuza \( i \).
1. Folosind tangenta: \[ \text{tg } 45^\circ = \frac{c_2}{c_1} \implies c_2 = c_1 \cdot \text{tg } 45^\circ = 2\text{ cm} \cdot 1 = 2\text{ cm} \] 2. Folosind funcția sinus (sau Teorema lui Pitagora): \[ \sin 45^\circ = \frac{c_2}{i} \implies i = \frac{c_2}{\sin 45^\circ} = \frac{2\text{ cm}}{0,707} \approx 2,83\text{ cm} \] Alternativ, prin Teorema lui Pitagora: \[ i = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2,83\text{ cm} \]
1. Folosind tangenta: \[ \text{tg } 45^\circ = \frac{c_2}{c_1} \implies c_2 = c_1 \cdot \text{tg } 45^\circ = 2\text{ cm} \cdot 1 = 2\text{ cm} \] 2. Folosind funcția sinus (sau Teorema lui Pitagora): \[ \sin 45^\circ = \frac{c_2}{i} \implies i = \frac{c_2}{\sin 45^\circ} = \frac{2\text{ cm}}{0,707} \approx 2,83\text{ cm} \] Alternativ, prin Teorema lui Pitagora: \[ i = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2,83\text{ cm} \]
Problema 3 (Dificilă): Pentru a determina înălțimea unui stâlp vertical \( AB \), un elev măsoară lungimea umbrei acestuia pe sol, obținând \( BO = 12\text{ m} \). În același moment, un băț vertical cu înălțimea \( CD = 2\text{ m} \) lasă o umbră pe sol \( DO = 3\text{ m} \). Determinați înălțimea stâlpului \( AB \).
Razele solare fiind paralele, formează cu solul același unghi de înclinație \( \alpha \) în ambele cazuri, definind triunghiuri dreptunghice asemenea.
Definim tangenta unghiului \( \alpha \): \[ \text{tg } \alpha = \frac{\text{înălțime}}{\text{umbră}} \implies \frac{AB}{BO} = \frac{CD}{DO} \] Izolăm înălțimea necunoscută \( AB \): \[ AB = \frac{BO \cdot CD}{DO} = \frac{12\text{ m} \cdot 2\text{ m}}{3\text{ m}} = \frac{24}{3}\text{ m} = 8\text{ m} \] Răspuns: Stâlpul are înălțimea de \( 8\text{ m} \).
Definim tangenta unghiului \( \alpha \): \[ \text{tg } \alpha = \frac{\text{înălțime}}{\text{umbră}} \implies \frac{AB}{BO} = \frac{CD}{DO} \] Izolăm înălțimea necunoscută \( AB \): \[ AB = \frac{BO \cdot CD}{DO} = \frac{12\text{ m} \cdot 2\text{ m}}{3\text{ m}} = \frac{24}{3}\text{ m} = 8\text{ m} \] Răspuns: Stâlpul are înălțimea de \( 8\text{ m} \).
