Cele mai importante aspecte ale lecției
Determinarea planului: 3 puncte necoliniare, 2 drepte paralele/concurente, sau dreaptă + punct exterior.
Paralelism: \( a \parallel b \subset \alpha \implies a \parallel \alpha \). Două plane sunt paralele dacă unul conține 2 drepte concurente paralele cu celălalt.
Perpendicularitate: \( d \perp \) pe două drepte concurente din \( \alpha \implies d \perp \alpha \). Plane perpendiculare înseamnă că unul conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt.
Unghiuri și Proiecții: Unghiul linie-plan se face cu proiecția liniei (\( \cos u = \text{pr} / \text{seg} \)). Unghiul diedru (plan-plan) se măsoară prin două perpendiculare pe muchie.
Teorema celor trei perpendiculare (T3P): Instrumentul suprem pentru a calcula distanța de la un punct exterior la o dreaptă din plan.
Paralelism: \( a \parallel b \subset \alpha \implies a \parallel \alpha \). Două plane sunt paralele dacă unul conține 2 drepte concurente paralele cu celălalt.
Perpendicularitate: \( d \perp \) pe două drepte concurente din \( \alpha \implies d \perp \alpha \). Plane perpendiculare înseamnă că unul conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt.
Unghiuri și Proiecții: Unghiul linie-plan se face cu proiecția liniei (\( \cos u = \text{pr} / \text{seg} \)). Unghiul diedru (plan-plan) se măsoară prin două perpendiculare pe muchie.
Teorema celor trei perpendiculare (T3P): Instrumentul suprem pentru a calcula distanța de la un punct exterior la o dreaptă din plan.
Punctul (fără dimensiune), dreapta (o dimensiune, infinită) și planul (două dimensiuni, infinit) sunt noțiunile de bază ale geometriei în spațiu.
Axiome importante:
- Prin două puncte diferite trece o singură dreaptă.
- Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan.
- Dacă o dreaptă are două puncte comune cu un plan, ea este inclusă în acel plan.
- Intersecția a două plane diferite care au un punct comun este o dreaptă.
Determinarea planului. Un plan este unic determinat de:
- Trei puncte necoliniare;
- Două drepte concurente;
- Două drepte paralele;
- O dreaptă și un punct exterior ei.
Piramida este poliedrul cu o bază poligon și fețe laterale triunghiuri cu un vârf comun (apex). Piramida regulată are baza poligon regulat, iar muchiile laterale sunt egale (fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente).
Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară cu toate cele 6 muchii egale (are 4 fețe triunghiuri echilaterale congruente).
Prisma dreaptă este poliedrul cu două baze poligoane congruente situate în plane paralele și fețe laterale dreptunghiuri. Paralelipipedul dreptunghic (fețe dreptunghiuri) și cubul (fețe pătrate) sunt cazuri particulare.
Cilindrul și conul circular drept se obțin prin rotația unui dreptunghi (în jurul unei laturi), respectiv a unui triunghi dreptunghic (în jurul unei catete). Au baze discuri și o generatoare ( \( G \) ).
Trunchiul de piramidă / con se obține prin secționarea corpului inițial cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea vârfului. Bazele sunt poligoane/cercuri asemenea.
Desfășurarea laterală a conului este un sector de cerc cu unghiul la centru:
\[ u = 360^{\circ} \cdot \frac{R}{G} \]
Două drepte în spațiu pot fi: paralele (coplanare, 0 puncte comune), concurente (coplanare, 1 punct comun) sau necoplanare (niciun punct comun și nu există un plan care să le conțină).
Unghiul a două drepte necoplanare: Dacă \( a \) și \( b \) sunt necoplanare, unghiul dintre ele este unghiul format de două drepte concurente \( a' \) și \( b' \), paralele cu \( a \), respectiv \( b \).
Dreaptă paralelă cu un plan: O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are niciun punct comun cu acesta.
Teoremă: O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan este paralelă cu planul (sau conținută în el).
Plane paralele: Două plane care nu au niciun punct comun.
Teoremă: Dacă un plan conține două drepte concurente, ambele paralele cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.
Teorema tortului: Intersecțiile a două plane paralele cu un al treilea plan sunt două drepte paralele.
Dreaptă perpendiculară pe plan: O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.
Teoremă: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.
Proiecția ortogonală: Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei coborâte din punct pe plan. Proiecția unui segment pe un plan este un segment sau un punct.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul format de dreaptă cu proiecția sa pe plan.
Dacă \( A'B' \) este proiecția segmentului \( AB \) pe planul \( \alpha \) și unghiul este \( u^\circ \), atunci: \[ A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \]
Dacă \( A'B' \) este proiecția segmentului \( AB \) pe planul \( \alpha \) și unghiul este \( u^\circ \), atunci: \[ A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \]
Unghiul diedru: Este unghiul format de două semiplane cu aceeași muchie. Măsura lui este dată de unghiul plan corespunzător (format de două perpendiculare pe muchie, duse din același punct, câte una în fiecare semiplan).
Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru dintre ele este de \( 90^\circ \). (Echivalent: un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
Înălțimea piramidei / conului este perpendiculara din vârf pe planul bazei. La corpurile regulate, piciorul înălțimii cade exact în centrul bazei.
Teorema celor trei perpendiculare:
Fie un plan \( \alpha \), o dreaptă \( d \perp \alpha \) în punctul \( O \), și o dreaptă \( a \subset \alpha \). Dacă ducem din \( O \) o perpendiculară \( OA \perp a \) (\( A \in a \)), atunci pentru orice punct \( P \in d \), segmentul \( PA \) va fi perpendicular pe \( a \).
\[ \left. \begin{array}{l} d \perp \alpha, d \cap \alpha = \{O\} \\ OA \perp a, a \subset \alpha \\ P \in d \end{array} \right\} \Rightarrow PA \perp a \]
Această teoremă este esențială pentru calculul distanței de la un punct la o dreaptă în spațiu (\( d(P, a) = PA \)). Reciprocele sale se folosesc extensiv pentru calcularea distanței de la un punct la un plan.
Probleme de antrenament
Ușoară: Un segment \( AB \) cu lungimea de \( 10 \text{ cm} \) face un unghi de \( 60^\circ \) cu un plan \( \alpha \). Calculați lungimea proiecției segmentului \( AB \) pe planul \( \alpha \).
Fie \( A'B' \) proiecția segmentului \( AB \) pe planul \( \alpha \).
Aplicăm formula: \( A'B' = AB \cdot \cos 60^\circ \)
\( A'B' = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm} \).
Aplicăm formula: \( A'B' = AB \cdot \cos 60^\circ \)
\( A'B' = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm} \).
Medie: Fie un pătrat \( ABCD \) cu latura de \( 6 \text{ cm} \). Din vârful \( A \) se ridică pe planul pătratului o perpendiculară \( AM = 8 \text{ cm} \). Calculați distanța de la punctul \( M \) la dreapta \( BC \).
Aplicăm Teorema celor trei perpendiculare.
1. Știm că \( MA \perp (ABCD) \) în punctul \( A \).
2. În planul bazei, \( ABCD \) este pătrat, deci \( AB \perp BC \).
3. Din 1 și 2, conform T3P, rezultă că \( MB \perp BC \).
Așadar, distanța de la \( M \) la dreapta \( BC \) este exact lungimea segmentului \( MB \).
În triunghiul dreptunghic \( MAB \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)): \( MB^2 = MA^2 + AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \).
\( MB = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \).
1. Știm că \( MA \perp (ABCD) \) în punctul \( A \).
2. În planul bazei, \( ABCD \) este pătrat, deci \( AB \perp BC \).
3. Din 1 și 2, conform T3P, rezultă că \( MB \perp BC \).
Așadar, distanța de la \( M \) la dreapta \( BC \) este exact lungimea segmentului \( MB \).
În triunghiul dreptunghic \( MAB \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)): \( MB^2 = MA^2 + AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \).
\( MB = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \).
Dificilă: Într-un tetraedru regulat \( ABCD \) cu muchia \( l = 6\sqrt{3} \text{ cm} \), calculați înălțimea tetraedrului.
Într-un tetraedru regulat, baza \( BCD \) este triunghi echilateral, iar piciorul înălțimii \( AO \) cade în centrul cercului circumscris bazei (\( O \)).
Înălțimea triunghiului echilateral de latură \( l \) este \( h = \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9 \text{ cm} \).
Raza cercului circumscris bazei (\( BO \)) este două treimi din înălțimea bazei: \( BO = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \text{ cm} \).
În triunghiul dreptunghic \( AOB \) (\( \sphericalangle O = 90^\circ \)), muchia laterală este ipotenuza \( AB = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
Aplicăm teorema lui Pitagora: \( AO^2 = AB^2 - BO^2 \)
\( AO^2 = (6\sqrt{3})^2 - 6^2 = 108 - 36 = 72 \).
\( AO = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).
Înălțimea triunghiului echilateral de latură \( l \) este \( h = \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9 \text{ cm} \).
Raza cercului circumscris bazei (\( BO \)) este două treimi din înălțimea bazei: \( BO = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \text{ cm} \).
În triunghiul dreptunghic \( AOB \) (\( \sphericalangle O = 90^\circ \)), muchia laterală este ipotenuza \( AB = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
Aplicăm teorema lui Pitagora: \( AO^2 = AB^2 - BO^2 \)
\( AO^2 = (6\sqrt{3})^2 - 6^2 = 108 - 36 = 72 \).
\( AO = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).
