Cele mai importante aspecte ale lecției
Pe scurt despre plane și secțiuni:
- Perpendicularitatea planelor: \( \alpha \perp \beta \) dacă planul \( \alpha \) are o dreaptă perpendiculară pe întregul plan \( \beta \). Un exemplu clasic este relația dintre fețele laterale și bazele oricărei prisme drepte.
- Secțiunea diagonală: Se obține tăind un corp (prismă, piramidă) cu un plan care trece printr-o diagonală a bazei sale și este perpendicular pe bază.
- Secțiunea axială: Se obține tăind un corp rotund (cilindru, con) cu un plan care trece pe la mijlocul său, prin axa de simetrie și diametrul bazei.
Spunem că un plan \( \alpha \) este perpendicular pe un alt plan \( \beta \), dacă planul \( \alpha \) conține o dreaptă \( d \) care este perpendiculară pe planul \( \beta \).
\[ d \perp \beta \text{ și } d \subset \alpha \implies \alpha \perp \beta \]
Se poate demonstra că relația de perpendicularitate este simetrică: dacă \( \alpha \perp \beta \), atunci avem și \( \beta \perp \alpha \).
- În orice paralelipiped dreptunghic (inclusiv în orice prismă patrulateră regulată și în orice cub), oricare două fețe ce au o muchie comună se află în plane perpendiculare.
- În orice prismă dreaptă, planele fețelor laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor, deoarece muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze.
Se numește secțiune diagonală într-o piramidă regulată, într-o prismă regulată sau într-un trunchi de piramidă regulată, secțiunea determinată de un plan perpendicular pe planul bazei care conține o diagonală a bazei.
- Într-o piramidă patrulateră regulată \( VABCD \), secțiunea diagonală este triunghiul isoscel \( VAC \) (sau \( VBD \)).
- Într-un cub sau o prismă patrulateră regulată \( ABCDA'B'C'D' \), secțiunea diagonală este dreptunghiul \( ACC'A' \) (sau \( BDD'B' \)).
- Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată, secțiunea diagonală este un trapez isoscel (de ex. \( ACC'A' \)).
Se numește secțiune axială într-un cilindru circular drept, într-un con circular drept sau într-un trunchi de con circular drept, secțiunea determinată de un plan perpendicular pe planul bazei care conține un diametru al bazei. Practic, este planul care „taie” corpul rotund pe la jumătate, trecând prin axa sa de simetrie.
- Într-un con circular drept cu vârful \(V\) și diametrul bazei \(AB\), secțiunea axială este triunghiul isoscel \( VAB \).
- Într-un cilindru circular drept cu diametrul bazei \(AB\) și generatoarea \(AA'\), secțiunea axială este dreptunghiul \( ABB'A' \).
- Într-un trunchi de con circular drept, secțiunea axială este trapezul isoscel \( ABB'A' \).
Exerciții
Ușoară: Ce formă geometrică are secțiunea axială a unui cilindru circular drept și ce formă geometrică are secțiunea axială a unui con circular drept?
Răspuns:
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi.
Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi isoscel.
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi.
Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi isoscel.
Medie: Într-o prismă patrulateră regulată \( ABCDA'B'C'D' \), latura bazei este \( AB = 8 \text{ cm} \), iar înălțimea este \( AA' = 4\sqrt{2} \text{ cm} \). Calculați aria secțiunii diagonale \( ACC'A' \).
Identificăm forma și dimensiunile secțiunii diagonale: \( ACC'A' \) este un dreptunghi cu laturile \( AC \) (diagonala bazei) și \( AA' \) (înălțimea prismei).
Calculăm diagonala bazei \( ABCD \), care este un pătrat cu latura de \( 8 \text{ cm} \).
\( AC = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
\( AC = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
Calculăm aria dreptunghiului \( ACC'A' \):
\( \text{Aria} = AC \cdot AA' = 8\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 32 \cdot 2 = 64 \text{ cm}^2 \).
Răspuns final: Aria secțiunii diagonale este \( 64 \text{ cm}^2 \).
\( \text{Aria} = AC \cdot AA' = 8\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 32 \cdot 2 = 64 \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Explicați, folosind definiția planelor perpendiculare, de ce planul unei fețe laterale dintr-o prismă dreaptă oarecare (de exemplu planul feței \( ABB'A' \)) este perpendicular pe planul bazei \( (ABC) \).
Conform definiției, un plan \( \alpha \) este perpendicular pe un plan \( \beta \) dacă \( \alpha \) conține o dreaptă perpendiculară pe \( \beta \).
Într-o prismă dreaptă, muchiile laterale (cum ar fi \( AA' \) sau \( BB' \)) sunt, prin definiția prismei drepte, perpendiculare pe planul bazei \( (ABC) \).
Deoarece dreapta \( AA' \) este inclusă în planul feței laterale \( (ABB'A') \) și \( AA' \perp (ABC) \), rezultă imediat că planul feței laterale este perpendicular pe planul bazei: \( (ABB'A') \perp (ABC) \).
Într-o prismă dreaptă, muchiile laterale (cum ar fi \( AA' \) sau \( BB' \)) sunt, prin definiția prismei drepte, perpendiculare pe planul bazei \( (ABC) \).
Deoarece dreapta \( AA' \) este inclusă în planul feței laterale \( (ABB'A') \) și \( AA' \perp (ABC) \), rezultă imediat că planul feței laterale este perpendicular pe planul bazei: \( (ABB'A') \perp (ABC) \).
