Cele mai importante aspecte ale lecției
Descompunerea forțelor: O forță \(F\) orientată sub un unghi \(\alpha\) are componentele ortogonale \(F_x = F \cos \alpha\) și \(F_y = F \sin \alpha\).
Planul înclinat:
Legi fundamentale: Principiul inerției (starea de mișcare uniformă/repaus se menține dacă \(\vec{R} = \vec{0}\)) și Principiul acțiunii și reacțiunii (\(\vec{F}_{\text{acțiune}} = -\vec{F}_{\text{reacțiune}}\)).
Planul înclinat:
- Greutatea tangențială (\(G_t = G \sin \alpha = G \frac{H}{L}\)) deplasează corpul spre baza planului.
- Greutatea normală (\(G_n = G \cos \alpha = G \frac{\sqrt{L^2 - H^2}}{L}\)) apasă perpendicular pe suprafață.
- Reacțiunea normală a planului este \(N = G_n\), iar forța de frecare este \(F_f = \mu N = \mu G_n\).
Legi fundamentale: Principiul inerției (starea de mișcare uniformă/repaus se menține dacă \(\vec{R} = \vec{0}\)) și Principiul acțiunii și reacțiunii (\(\vec{F}_{\text{acțiune}} = -\vec{F}_{\text{reacțiune}}\)).
A descompune o forță \(\vec{F}\) după două axe perpendiculare (\(Ox\) și \(Oy\)) înseamnă a determina două forțe componente, \(\vec{F}_x\) și \(\vec{F}_y\), a căror rezultantă vectorială este forța inițială: \(\vec{F} = \vec{F}_x + \vec{F}_y\).
\[ F_x = F \cdot \cos \alpha \]
\[ F_y = F \cdot \sin \alpha \]
\(\alpha\) reprezintă unghiul format de direcția forței \(\vec{F}\) cu axa orizontală (\(Ox\)).
Dacă tragem un cărucior cu o forță \(F = 100\text{ N}\) sub un unghi \(\alpha = 60^\circ\) față de orizontală (\(\cos 60^\circ = 0{,}5\); \(\sin 60^\circ \approx 0{,}86\)):
\[ F_x = 100 \cdot 0{,}5 = 50\text{ N} \quad (\text{componenta utilă, orizontală}) \]
\[ F_y = 100 \cdot 0{,}86 = 86\text{ N} \quad (\text{componenta verticală, care tinde să ridice căruciorul}) \]
Asupra unui corp acționează o forță de tracțiune \(F = 200\text{ N}\), orientată sub un unghi \(\alpha = 30^\circ\) față de sol (\(\cos 30^\circ \approx 0{,}86\), \(\sin 30^\circ = 0{,}5\)). Calculați componentele forței după direcția orizontală și verticală.
Componenta orizontală: \(F_x = F \cdot \cos 30^\circ = 200 \cdot 0{,}86 = 172\text{ N}\).
Componenta verticală: \(F_y = F \cdot \sin 30^\circ = 200 \cdot 0{,}5 = 100\text{ N}\).
Componenta verticală: \(F_y = F \cdot \sin 30^\circ = 200 \cdot 0{,}5 = 100\text{ N}\).
Planul înclinat este o suprafață plană rigidă care formează un unghi ascuțit \(\alpha\) cu planul orizontal, având lungimea \(L\) și înălțimea \(H\).
Greutatea corpului \(\vec{G}\) (orientată întotdeauna vertical în jos) se descompune după două direcții perpendiculare:
- Greutatea tangențială (\(\vec{G}_t\)): componenta paralelă cu planul, orientată spre baza acestuia, responsabilă de mișcarea corpului în jos pe pantă.
- Greutatea normală (\(\vec{G}_n\)): componenta perpendiculară pe plan, responsabilă de apăsarea pe suprafața planului.
\[ G_t = G \cdot \sin \alpha = G \cdot \frac{H}{L} \]
\[ G_n = G \cdot \cos \alpha = G \cdot \frac{\sqrt{L^2 - H^2}}{L} \]
unde \(G = m \cdot g\), \(L\) este lungimea planului înclinat, iar \(H\) este înălțimea acestuia.
Echilibrul pe direcție normală și forța de frecare:
Deoarece corpul nu se deplasează pe direcția perpendiculară pe plan, forța de apăsare normală este compensată de reacțiunea normală a suprafeței: \[ N = G_n \] Forța de frecare la alunecare pe planul înclinat este: \[ F_f = \mu \cdot N = \mu \cdot G_n \]
Deoarece corpul nu se deplasează pe direcția perpendiculară pe plan, forța de apăsare normală este compensată de reacțiunea normală a suprafeței: \[ N = G_n \] Forța de frecare la alunecare pe planul înclinat este: \[ F_f = \mu \cdot N = \mu \cdot G_n \]
Un corp cu masa \(m = 5\text{ kg}\) este așezat pe un plan înclinat cu \(L = 5\text{ m}\) și \(H = 3\text{ m}\). Considerând \(g = 10\text{ N/kg}\), calculați \(G_t\) și \(G_n\).
Calculăm greutatea: \(G = m \cdot g = 5\text{ kg} \cdot 10\text{ N/kg} = 50\text{ N}\).
Componenta tangențială: \(G_t = G \cdot \frac{H}{L} = 50 \cdot \frac{3}{5} = 30\text{ N}\).
Baza planului: \(B = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\text{ m}\).
Componenta normală: \(G_n = G \cdot \frac{B}{L} = 50 \cdot \frac{4}{5} = 40\text{ N}\).
Componenta tangențială: \(G_t = G \cdot \frac{H}{L} = 50 \cdot \frac{3}{5} = 30\text{ N}\).
Baza planului: \(B = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\text{ m}\).
Componenta normală: \(G_n = G \cdot \frac{B}{L} = 50 \cdot \frac{4}{5} = 40\text{ N}\).
Viteza este o mărime fizică vectorială a cărei valoare și orientare depind de sistemul de referință (SR) ales.
Tipuri de viteze:
- Viteza relativă (\(\vec{v}_{ba}\)): viteza corpului față de un sistem de referință mobil (de exemplu, viteza unei bărci față de apa curgătoare).
- Viteza de transport (\(\vec{v}_{ap}\)): viteza sistemului mobil față de sistemul fix (de exemplu, viteza apei râului față de mal).
- Viteza absolută (\(\vec{v}_{bp}\)): viteza corpului față de sistemul de referință fix (de exemplu, viteza bărcii măsurată de un observator de pe mal).
\[ \vec{v}_{bp} = \vec{v}_{ba} + \vec{v}_{ap} \]
Dacă direcția relativă este perpendiculară pe direcția de transport, mărimea vitezei absolute este:
\[ v_{bp} = \sqrt{v_{ba}^2 + v_{ap}^2} \]
O barcă traversează un râu cu viteza proprie \(v_{ba} = 4\text{ m/s}\), orientată perpendicular pe maluri. Apa curge cu viteza de transport \(v_{ap} = 3\text{ m/s}\). Determinați viteza bărcii față de mal.
Deoarece vectorii sunt perpendiculari:
\[ v_{bp} = \sqrt{v_{ba}^2 + v_{ap}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ m/s} \]
Interacțiunea este acțiunea reciprocă dintre două corpuri, iar măsura acesteia este forța (\(\vec{F}\)), mărime vectorială caracterizată prin punct de aplicație, direcție, sens și modul. Unitatea în S.I. este newtonul (\([\text{F}]_{\text{SI}} = \text{N}\)).
Principiul inerției (Principiul I):
Un corp își păstrează starea de repaus sau de mișcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu acționează alte forțe sau rezultanta forțelor aplicate este nulă (\(\vec{R} = \vec{0}\)).
Un corp își păstrează starea de repaus sau de mișcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu acționează alte forțe sau rezultanta forțelor aplicate este nulă (\(\vec{R} = \vec{0}\)).
Principiul acțiunii și reacțiunii (Principiul al III-lea):
Dacă un corp acționează asupra altui corp cu o forță numită acțiune, cel de-al doilea corp reacționează simultan asupra primului cu o forță egală în modul și de sens contrar, numită reacțiune: \[ \vec{F}_{\text{acțiune}} = -\vec{F}_{\text{reacțiune}} \]
Dacă un corp acționează asupra altui corp cu o forță numită acțiune, cel de-al doilea corp reacționează simultan asupra primului cu o forță egală în modul și de sens contrar, numită reacțiune: \[ \vec{F}_{\text{acțiune}} = -\vec{F}_{\text{reacțiune}} \]
Acțiunea și reacțiunea se aplică întotdeauna pe două corpuri diferite, deci nu se pot anula reciproc!
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Un corp cu masa \(m = 100\text{ g}\) este așezat pe un plan înclinat cu lungimea \(L = 5\text{ m}\) și înălțimea \(H = 3\text{ m}\). Se consideră \(g = 10\text{ N/kg}\). Calculați mărimea componentei greutății paralele cu planul înclinat (\(G_t\)).
Transformăm masa în unități S.I.:
\[ m = 100\text{ g} = 0{,}1\text{ kg} \]
Calculăm greutatea corpului:
\[ G = m \cdot g = 0{,}1\text{ kg} \cdot 10\text{ N/kg} = 1\text{ N} \]
Calculăm componenta tangențială:
\[ G_t = G \cdot \frac{H}{L} = 1\text{ N} \cdot \frac{3\text{ m}}{5\text{ m}} = 0{,}6\text{ N} \]
Răspuns: \(G_t = 0{,}6\text{ N}\).
Problema 2 (Medie): O sanie împreună cu copiii are masa \(m = 60\text{ kg}\). Aceasta este trasă pe un drum orizontal cu o forță \(F = 500\text{ N}\), orientată sub un unghi \(\alpha = 37^\circ\) față de orizontală (\(\sin 37^\circ = 0{,}6\); \(\cos 37^\circ = 0{,}8\)). Coeficientul de frecare dintre sanie și zăpadă este \(\mu = 0{,}2\), iar \(g = 10\text{ N/kg}\).
a) Calculați forța de apăsare normală \(N\) exercitată de sol asupra saniei.
b) Determinați forța de frecare \(F_f\).
a) Calculați forța de apăsare normală \(N\) exercitată de sol asupra saniei.
b) Determinați forța de frecare \(F_f\).
Calculăm greutatea și componentele forței de tracțiune:
\[ G = m \cdot g = 60 \cdot 10 = 600\text{ N} \]
\[ F_x = F \cdot \cos 37^\circ = 500 \cdot 0{,}8 = 400\text{ N} \]
\[ F_y = F \cdot \sin 37^\circ = 500 \cdot 0{,}6 = 300\text{ N} \]
a) Pe axa verticală, corpul este în echilibru:
\[ N + F_y - G = 0 \Rightarrow N = G - F_y = 600 - 300 = 300\text{ N} \]
b) Forța de frecare la alunecare:
\[ F_f = \mu \cdot N = 0{,}2 \cdot 300\text{ N} = 60\text{ N} \]
Răspuns: \(N = 300\text{ N}\), \(F_f = 60\text{ N}\).
Problema 3 (Medie): O barcă traversează un râu cu lățimea \(d = 20\text{ m}\). Apa râului curge cu viteza de transport \(v_{ap} = 3\text{ m/s}\), iar barca pornește perpendicular pe direcția malurilor cu o viteză relativă \(v_{ba} = 4\text{ m/s}\).
a) În cât timp traversează barca râul?
b) Cu ce distanță este deplasată barca în aval (în lungul cursului apei) până atinge malul opus?
a) În cât timp traversează barca râul?
b) Cu ce distanță este deplasată barca în aval (în lungul cursului apei) până atinge malul opus?
a) Traversarea lățimii râului este determinată exclusiv de componenta perpendiculară pe maluri (\(v_{ba}\)):
\[ t = \frac{d}{v_{ba}} = \frac{20\text{ m}}{4\text{ m/s}} = 5\text{ s} \]
b) Deplasarea în aval este produsă de curgerea apei (\(v_{ap}\)) în acest interval de timp:
\[ x = v_{ap} \cdot t = 3\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} = 15\text{ m} \]
Răspuns: Timpul este \(5\text{ s}\), iar deplasarea în aval este de \(15\text{ m}\).
Problema 4 (Dificilă): Un schior cu masa \(m = 100\text{ kg}\) coboară liber pe o pârtie cu lungimea \(L = 3000\text{ m}\) și diferența de nivel \(H = 600\text{ m}\). Coeficientul de frecare este \(\mu = 0{,}1\), iar \(g = 10\text{ N/kg}\).
a) Calculați componentele greutății \(G_t\) și \(G_n\).
b) Determinați forța rezultantă care accelerează schiorul în jos pe pârtie.
a) Calculați componentele greutății \(G_t\) și \(G_n\).
b) Determinați forța rezultantă care accelerează schiorul în jos pe pârtie.
Greutatea schiorului: \(G = m \cdot g = 100 \cdot 10 = 1000\text{ N}\).
Baza planului prin Teorema lui Pitagora: \[ B = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{3000^2 - 600^2} = \sqrt{9\,000\,000 - 360\,000} = \sqrt{8\,640\,000} \approx 2939{,}38\text{ m} \] (Sau folosim aproximația din manual \(B/L \approx 0{,}98\)).
a) Componentele greutății: \[ G_t = G \cdot \frac{H}{L} = 1000 \cdot \frac{600}{3000} = 200\text{ N} \] \[ G_n = G \cdot \frac{\sqrt{L^2 - H^2}}{L} \approx 1000 \cdot 0{,}98 = 980\text{ N} \] b) Normala la plan este \(N = G_n = 980\text{ N}\).
Forța de frecare: \[ F_f = \mu \cdot N = 0{,}1 \cdot 980 = 98\text{ N} \] Forța rezultantă de-a lungul pantei (pe direcția mișcării): \[ R = G_t - F_f = 200\text{ N} - 98\text{ N} = 102\text{ N} \] Răspuns: \(G_t = 200\text{ N}\), \(G_n = 980\text{ N}\), \(R = 102\text{ N}\).
Baza planului prin Teorema lui Pitagora: \[ B = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{3000^2 - 600^2} = \sqrt{9\,000\,000 - 360\,000} = \sqrt{8\,640\,000} \approx 2939{,}38\text{ m} \] (Sau folosim aproximația din manual \(B/L \approx 0{,}98\)).
a) Componentele greutății: \[ G_t = G \cdot \frac{H}{L} = 1000 \cdot \frac{600}{3000} = 200\text{ N} \] \[ G_n = G \cdot \frac{\sqrt{L^2 - H^2}}{L} \approx 1000 \cdot 0{,}98 = 980\text{ N} \] b) Normala la plan este \(N = G_n = 980\text{ N}\).
Forța de frecare: \[ F_f = \mu \cdot N = 0{,}1 \cdot 980 = 98\text{ N} \] Forța rezultantă de-a lungul pantei (pe direcția mișcării): \[ R = G_t - F_f = 200\text{ N} - 98\text{ N} = 102\text{ N} \] Răspuns: \(G_t = 200\text{ N}\), \(G_n = 980\text{ N}\), \(R = 102\text{ N}\).
