Cele mai importante aspecte ale lecției
Criterii de divizibilitate importante:
- Cu 2: Ultima cifră trebuie să fie pară (\(0, 2, 4, 6, 8\)). Exemplu: \(356 \ \vdots \ 2\).
- Cu 5: Ultima cifră trebuie să fie \(0\) sau \(5\). Exemplu: \(245 \ \vdots \ 5\).
- Cu 10: Ultima cifră trebuie să fie \(0\). Exemplu: \(890 \ \vdots \ 10\).
- Cu \(10^n\): Ultimele \(n\) cifre trebuie să fie \(0\). Exemplu: \(4\,700 \ \vdots \ 100\) (deoarece are două zerouri la sfârșit, \(100 = 10^2\)).
Un număr natural este divizibil cu 2 (se împarte exact la 2) dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară (adică se termină în 0, 2, 4, 6 sau 8).
Numărul \(1\,248\) este divizibil cu 2 deoarece ultima sa cifră este 8, care este o cifră pară.
Numărul \(1\,245\) nu este divizibil cu 2 deoarece se termină în 5 (cifră impară).
Numărul \(1\,245\) nu este divizibil cu 2 deoarece se termină în 5 (cifră impară).
Determinați toate numerele de forma \(\overline{73x}\) care sunt divizibile cu 2.
Pentru ca numărul \(\overline{73x}\) să fie divizibil cu 2, ultima cifră \(x\) trebuie să fie pară.
Cifrele pare sunt: \(0, 2, 4, 6, 8\).
Răspuns: Numerele sunt \(730, 732, 734, 736, 738\).
Cifrele pare sunt: \(0, 2, 4, 6, 8\).
Răspuns: Numerele sunt \(730, 732, 734, 736, 738\).
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Numărul \(1\,450\) este divizibil cu 5 deoarece ultima sa cifră este 0.
Numărul \(375\) este divizibil cu 5 deoarece ultima sa cifră este 5.
Numărul \(375\) este divizibil cu 5 deoarece ultima sa cifră este 5.
Scrieți numerele de două cifre, mai mari decât 80, care sunt multipli ai lui 5, dar nu sunt multipli ai lui 10.
Multiplii lui 5 trebuie să aibă ultima cifră 0 sau 5.
Deoarece nu trebuie să fie multipli ai lui 10, eliminăm numerele care se termină în 0. Așadar, căutăm numerele mai mari decât 80 care se termină în 5.
Acestea sunt: \(85\) și \(95\).
Răspuns: 85, 95.
Deoarece nu trebuie să fie multipli ai lui 10, eliminăm numerele care se termină în 0. Așadar, căutăm numerele mai mari decât 80 care se termină în 5.
Acestea sunt: \(85\) și \(95\).
Răspuns: 85, 95.
Un număr natural este divizibil cu \(10^n\) (unde \(n \ge 1\)) dacă ultimele sale \(n\) cifre sunt egale cu 0.
- Divizibilitatea cu 10 (\(10^1\)): Ultima cifră a numărului este 0.
- Divizibilitatea cu 100 (\(10^2\)): Ultimele două cifre ale numărului sunt 00.
- Divizibilitatea cu 1000 (\(10^3\)): Ultimele trei cifre ale numărului sunt 000.
- \(240\) este divizibil cu 10 (se termină într-un singur zero).
- \(5\,700\) este divizibil cu 100 (se termină în două zerouri).
- \(12\,000\) este divizibil cu 1000 (se termină în trei zerouri).
Fie numărul \(A = 23 \cdot 10^4\). Este acest număr divizibil cu 1000? Justificați.
Numărul \(A = 23 \cdot 10\,000 = 230\,000\).
Ultimele 4 cifre ale sale sunt 0. Pentru a fi divizibil cu 1000 (\(10^3\)), este suficient ca ultimele 3 cifre să fie 0.
Deoarece \(230\,000\) se termină în patru de 0, el este divizibil cu 1000 (și chiar cu \(10\,000\)).
Ultimele 4 cifre ale sale sunt 0. Pentru a fi divizibil cu 1000 (\(10^3\)), este suficient ca ultimele 3 cifre să fie 0.
Deoarece \(230\,000\) se termină în patru de 0, el este divizibil cu 1000 (și chiar cu \(10\,000\)).
Probleme practice
Problemă ușoară: Determinați care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 2, care cu 5 și care cu 10:
\[ 124, \quad 305, \quad 420, \quad 703, \quad 1\,000 \]
Aplicăm criteriile de divizibilitate:
- Divizibile cu 2 (ultima cifră pară: 0, 2, 4, 6, 8): \(124\) (se termină în 4), \(420\) (se termină în 0), \(1\,000\) (se termină în 0).
- Divizibile cu 5 (ultima cifră 0 sau 5): \(305\) (se termină în 5), \(420\) (se termină în 0), \(1\,000\) (se termină în 0).
- Divizibile cu 10 (ultima cifră 0): \(420\) (se termină în 0), \(1\,000\) (se termină în 0).
Problemă medie: Aflați cifrele \(x\) și \(y\) pentru care numărul de forma \(\overline{2x5y}\) este divizibil cu 10, iar suma cifrelor sale este un număr divizibil cu 2.
1. Deoarece \(\overline{2x5y}\) este divizibil cu 10, ultima sa cifră trebuie să fie 0, deci \(y = 0\). Numărul devine \(\overline{2x50}\).
2. Suma cifrelor numărului este \(S = 2 + x + 5 + 0 = 7 + x\).
3. Suma \(S = 7 + x\) trebuie să fie un număr divizibil cu 2 (adică par). Deoarece 7 este impar, pentru ca \(7+x\) să fie par, \(x\) trebuie să fie o cifră impară.
Cifrele impare pentru \(x\) sunt: \(1, 3, 5, 7, 9\).
Răspuns: \(y = 0\) și \(x \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\).
2. Suma cifrelor numărului este \(S = 2 + x + 5 + 0 = 7 + x\).
3. Suma \(S = 7 + x\) trebuie să fie un număr divizibil cu 2 (adică par). Deoarece 7 este impar, pentru ca \(7+x\) să fie par, \(x\) trebuie să fie o cifră impară.
Cifrele impare pentru \(x\) sunt: \(1, 3, 5, 7, 9\).
Răspuns: \(y = 0\) și \(x \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\).
Problemă dificilă: Determinați codul format din trei cifre distincte \(\overline{abc}\), știind că:
- Numărul \(\overline{32a}\) este un multiplu impar al lui 5.
- Numărul \(\overline{45b}\) este cel mai mare multiplu al lui 2 de această formă.
- Numărul \(\overline{c10}\) este divizibil cu 100.
Analizăm condițiile pas cu pas:
- Numărul \(\overline{32a}\) este multiplu de 5, deci \(a\) poate fi 0 sau 5. Deoarece se specifică faptul că este un multiplu impar, ultima cifră trebuie să fie impară, deci \(a = 5\).
- Numărul \(\overline{45b}\) este cel mai mare multiplu al lui 2 de această formă. Cifra \(b\) trebuie să fie cea mai mare cifră pară, deci \(b = 8\).
- Numărul \(\overline{c10}\) este divizibil cu 100. Un număr este divizibil cu 100 dacă ultimele sale două cifre sunt 0. Însă numărul \(\overline{c10}\) se termină în 10 (nu în 00). Prin urmare, nicio cifră \(c\) nu poate face ca numărul \(\overline{c10}\) să fie divizibil cu 100.
Corecție/Re-evaluare: Dacă cerința ar presupune forma \(\overline{c00}\) pentru a fi divizibil cu 100, atunci \(c\) ar putea fi orice cifră nenulă. Dacă analizăm structura codului, cifra zecilor este fixată la 1 în expresia \(\overline{c10}\), ceea ce face divizibilitatea cu 100 imposibilă. Presupunând că textul dorea divizibilitatea cu 10, atunci \(c\) poate fi orice cifră nenulă. Pentru a avea cifre distincte în codul \(\overline{abc}\) cu \(a=5\) și \(b=8\), \(c\) poate fi orice cifră din \(\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9\}\).
Dacă enunțul presupunea de fapt că numărul \(\overline{cz0}\) este divizibil cu 100, atunci a doua cifră trebuie să fie 0 (deci numărul are forma \(\overline{c00}\)). Pentru ca cifrele \(a, b, c\) să fie distincte și \(c \ne 0\), \(c\) poate fi orice cifră din \(\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9\}\). Să considerăm cea mai simplă interpretare standard de cifre distincte unde numărul simplu asociat lui \(c\) se divide cu proprietățile date: dacă numărul căutat este de forma \(\overline{c00}\), atunci \(c\) poate fi orice cifră nenulă diferită de 5 și 8.
