Cele mai importante aspecte ale lecției
Metoda falsei ipoteze se bazează pe o presupunere extremă (considerăm că toate elementele aparțin unei singure categorii).
- Diferența totală se obține scăzând valoarea presupusă din cea reală (sau invers).
- Diferența unitară se obține prin diferența valorilor individuale ale celor două categorii: \( \text{Valoare Mare} - \text{Valoare Mică} \).
- Atenție! La problemele cu punctaje scăzute, diferența unitară reprezintă suma dintre punctele primite și cele scăzute: \( P_{\text{corect}} + P_{\text{greșit}} \).
Metoda falsei ipoteze este o metodă aritmetică utilizată pentru a rezolva probleme în care avem două (sau mai multe) categorii de mărimi corelate și cunoșteam numărul total al acestora, precum și o sumă totală a valorilor lor.
Metoda constă în a presupune (a face o ipoteză, care de obicei se dovedește a fi falsă) că toate mărimile sau obiectele din problemă sunt de același fel (aparțin aceleiași categorii).
Făcând această presupunere, se va obține o diferență (o eroare) față de rezultatul real din enunț. Analizând această nepotrivire și corectând-o pas cu pas prin înlocuiri, ajungem la soluția corectă.
Presupunem că toate obiectele sunt de un singur fel (de exemplu, toate au valoarea mai mare sau toate au valoarea mai mică).
Înmulțim numărul total de obiecte cu valoarea caracteristică categoriei alese la Pasul 1.
Calculăm diferența dintre rezultatul obținut prin presupunere și cel real, dat în enunțul problemei.
Calculăm diferența de valoare dintre o unitate din prima categorie și o unitate din a doua categorie.
Împărțim diferența totală (de la Pasul 3) la diferența unitară (de la Pasul 4). Rezultatul reprezintă numărul de obiecte din cealaltă categorie (cea care nu a fost aleasă în presupunerea inițială).
Scădem numărul obținut la Pasul 5 din numărul total de obiecte din problemă.
Verificăm dacă rezultatele obținute corespund cu datele problemei.
Cumpărăm 11 caiete, unele de 4 lei și altele de 7 lei bucata, plăgind în total 59 de lei. Câte caiete de fiecare fel s-au cumpărat?
Presupunem că s-au cumpărat numai caiete de 7 lei.
Costul total ar fi:
\[ 11 \cdot 7 = 77 \text{ lei} \]
Diferența totală față de suma reală:
\[ 77 - 59 = 18 \text{ lei (în plus)} \]
Diferența de preț dintre cele două tipuri de caiete (diferența unitară):
\[ 7 - 4 = 3 \text{ lei} \]
Numărul de caiete de 4 lei (cele care le înlocuiesc pe cele de 7 lei pentru a elimina surplusul de bani):
\[ 18 : 3 = 6 \text{ caiete de 4 lei} \]
Numărul de caiete de 7 lei:
\[ 11 - 6 = 5 \text{ caiete de 7 lei} \]
\[ 6 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = 24 + 35 = 59 \text{ lei (Adevărat)} \]
În problemele cu teste/concursuri unde un răspuns corect aduce puncte, iar un răspuns greșit scade puncte, calculul diferenței unitare se face prin adunare!
Dacă înlocuim un răspuns corect cu unul greșit, pierdem punctele pe care le-am fi câștigat pentru răspunsul corect, plus punctele care ni se scad ca penalizare.
\[ \text{Diferența unitară} = \text{Puncte primite} + \text{Puncte pierdute} \]
La un test cu 18 întrebări, se dau 5 puncte pentru un răspuns corect și se scad 3 puncte pentru unul greșit. Alina obține 74 de puncte (fără a lua în calcul punctele din oficiu).
1. Presupunem că a răspuns corect la toate cele 18 întrebări: \[ 18 \cdot 5 = 90 \text{ puncte} \] 2. Diferența totală de puncte: \[ 90 - 74 = 16 \text{ puncte} \] 3. Diferența unitară (înlocuirea unui răspuns corect cu unul greșit înseamnă o pierdere de \(5 + 3\) puncte): \[ 5 + 3 = 8 \text{ puncte} \] 4. Numărul de răspunsuri greșite: \[ 16 : 8 = 2 \text{ răspunsuri greșite} \] 5. Numărul de răspunsuri corecte: \[ 18 - 2 = 16 \text{ răspunsuri corecte} \]
1. Presupunem că a răspuns corect la toate cele 18 întrebări: \[ 18 \cdot 5 = 90 \text{ puncte} \] 2. Diferența totală de puncte: \[ 90 - 74 = 16 \text{ puncte} \] 3. Diferența unitară (înlocuirea unui răspuns corect cu unul greșit înseamnă o pierdere de \(5 + 3\) puncte): \[ 5 + 3 = 8 \text{ puncte} \] 4. Numărul de răspunsuri greșite: \[ 16 : 8 = 2 \text{ răspunsuri greșite} \] 5. Numărul de răspunsuri corecte: \[ 18 - 2 = 16 \text{ răspunsuri corecte} \]
Probleme practice
Problemă ușoară: Andrei are în curte iepuri și porumbei, în total fiind 25 de capete și 76 de picioare. Câți iepuri și câți porumbei are Andrei?
Știm că porumbeii au 2 picioare, iar iepurii au 4 picioare.
1. Presupunem că toate cele 25 de animale sunt porumbei: \[ 25 \cdot 2 = 50 \text{ de picioare} \] 2. Calculăm diferența totală de picioare: \[ 76 - 50 = 26 \text{ de picioare (în plus în realitate)} \] 3. Calculăm diferența unitară (diferența de picioare dintre un iepure și un porumbel): \[ 4 - 2 = 2 \text{ picioare} \] 4. Aflăm numărul de iepuri (animalele pe care le-am înlocuit în presupunere): \[ 26 : 2 = 13 \text{ iepuri} \] 5. Aflăm numărul de porumbei: \[ 25 - 13 = 12 \text{ porumbei} \]
Verificare: \(13 \cdot 4 + 12 \cdot 2 = 52 + 24 = 76\) picioare.
Răspuns: 13 iepuri și 12 porumbei.
1. Presupunem că toate cele 25 de animale sunt porumbei: \[ 25 \cdot 2 = 50 \text{ de picioare} \] 2. Calculăm diferența totală de picioare: \[ 76 - 50 = 26 \text{ de picioare (în plus în realitate)} \] 3. Calculăm diferența unitară (diferența de picioare dintre un iepure și un porumbel): \[ 4 - 2 = 2 \text{ picioare} \] 4. Aflăm numărul de iepuri (animalele pe care le-am înlocuit în presupunere): \[ 26 : 2 = 13 \text{ iepuri} \] 5. Aflăm numărul de porumbei: \[ 25 - 13 = 12 \text{ porumbei} \]
Verificare: \(13 \cdot 4 + 12 \cdot 2 = 52 + 24 = 76\) picioare.
Răspuns: 13 iepuri și 12 porumbei.
Problemă medie: În tabără la munte, 100 de copii au ocupat 28 de camere, unele cu 3 paturi, iar altele cu 5 paturi. Știind că toate paturile au fost ocupate, determinați câte camere de fiecare fel sunt în acea locație.
1. Presupunem că toate cele 28 de camere au câte 3 paturi:
\[ 28 \cdot 3 = 84 \text{ de paturi (locuri)} \]
2. Calculăm diferența totală de locuri:
\[ 100 - 84 = 16 \text{ locuri} \]
3. Calculăm diferența unitară (diferența dintre o cameră de 5 paturi și una de 3 paturi):
\[ 5 - 3 = 2 \text{ locuri} \]
4. Aflăm numărul de camere cu 5 paturi:
\[ 16 : 2 = 8 \text{ camere cu 5 paturi} \]
5. Aflăm numărul de camere cu 3 paturi:
\[ 28 - 8 = 20 \text{ camere cu 3 paturi} \]
Verificare: \(20 \cdot 3 + 8 \cdot 5 = 60 + 40 = 100\) de copii.
Răspuns: 20 de camere cu 3 paturi și 8 camere cu 5 paturi.
Verificare: \(20 \cdot 3 + 8 \cdot 5 = 60 + 40 = 100\) de copii.
Răspuns: 20 de camere cu 3 paturi și 8 camere cu 5 paturi.
Problemă dificilă: Un elev susține un test grilă cu 20 de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect primește 10 puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit i se scad 4 puncte. Știind că elevul a obținut în total 158 de puncte și nu s-au acordat puncte din oficiu, aflați câte răspunsuri corecte a dat acesta.
1. Presupunem că elevul a răspuns corect la toate cele 20 de întrebări:
\[ 20 \cdot 10 = 200 \text{ de puncte} \]
2. Calculăm diferența totală de puncte:
\[ 200 - 158 = 42 \text{ puncte} \]
3. Calculăm diferența unitară. Atunci când un răspuns corect devine greșit, pierdem cele 10 puncte pe care le-am fi câștigat și ni se mai scad încă 4 puncte:
\[ 10 + 4 = 14 \text{ puncte} \]
4. Calculăm numărul de răspunsuri greșite:
\[ 42 : 14 = 3 \text{ răspunsuri greșite} \]
5. Calculăm numărul de răspunsuri corecte:
\[ 20 - 3 = 17 \text{ răspunsuri corecte} \]
Verificare: \(17 \cdot 10 - 3 \cdot 4 = 170 - 12 = 158\) puncte.
Răspuns: Elevul a dat 17 răspunsuri corecte.
Verificare: \(17 \cdot 10 - 3 \cdot 4 = 170 - 12 = 158\) puncte.
Răspuns: Elevul a dat 17 răspunsuri corecte.
