Înmulțirea Fracțiilor. Puteri

Alege rezolvarea exercițiului:

a)
\( 10 \cdot \frac{7}{20} = \frac{\cancel{10}^1 \cdot 7}{\cancel{20}_2} = \frac{7}{2} \)
b)
\( 27 \cdot \frac{5}{18} = \frac{\cancel{27}^3 \cdot 5}{\cancel{18}_2} = \frac{15}{2} \)
c)
\( \frac{6}{21} \cdot 14 = \frac{2}{7} \cdot 14 = \frac{2 \cdot \cancel{14}^2}{\cancel{7}_1} = 4 \)
d)
\( \frac{20}{42} \cdot 24 = \frac{10}{21} \cdot 24 = \frac{10 \cdot \cancel{24}^8}{\cancel{21}_7} = \frac{80}{7} \)
e)
\( 2\frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{19}{9} \cdot 3 = \frac{19 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{9}_3} = \frac{19}{3} \)
f)
\( 3\frac{1}{10} \cdot 24 = \frac{31}{10} \cdot 24 = \frac{31 \cdot \cancel{24}^{12}}{\cancel{10}_5} = \frac{372}{5} \)
g)
\( \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{2}{45} \)
h)
\( \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{8}_4 \cdot 3} = \frac{1}{12} \)
i)
\( \frac{8}{36} \cdot \frac{12}{10} = \frac{\cancel{8}^4}{\cancel{36}_3} \cdot \frac{\cancel{12}^1}{\cancel{10}_5} = \frac{4}{15} \)
j)
\( \frac{3}{35} \cdot \frac{42}{15} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{35}_5} \cdot \frac{\cancel{42}^6}{\cancel{15}_5} = \frac{6}{25} \)
k)
\( \frac{5}{18} \cdot \frac{8}{20} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{18}_9} \cdot \frac{\cancel{8}^4}{\cancel{20}_4} = \frac{1 \cdot \cancel{4}^1}{9 \cdot \cancel{4}_1} = \frac{1}{9} \)
l)
\( \frac{6}{22} \cdot \frac{11}{36} = \frac{\cancel{6}^1}{\cancel{22}_2} \cdot \frac{\cancel{11}^1}{\cancel{36}_6} = \frac{1}{12} \)
m)
\( 2\frac{1}{9} \cdot \frac{15}{19} = \frac{19}{9} \cdot \frac{15}{19} = \frac{\cancel{19}^1}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{19}_1} = \frac{5}{3} \)
n)
\( 3\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{30} = \frac{24}{7} \cdot \frac{14}{30} = \frac{\cancel{24}^4}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{30}_5} = \frac{8}{5} \)
o)
\( 2\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{28} = \frac{8}{3} \cdot \frac{15}{28} = \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{28}_7} = \frac{10}{7} \)
p)
\( 4\frac{1}{2} \cdot 2\frac{3}{20} = \frac{9}{2} \cdot \frac{43}{20} = \frac{387}{40} \)

Pentru a rezolva aceste înmulțiri, vom urma regulile de calcul cu fracții ordinare: transformarea numerelor mixte în fracții supraunitare, simplificarea factorilor comuni de la numărător și numitor pentru a obține o fracție ireductibilă și înmulțirea rezultatelor rămase.

a) \( 10 \cdot \frac{7}{20} \)
Înmulțim numărul natural cu numărătorul. Simplificăm \( 10 \) și \( 20 \) prin \( 10 \):
\[ 10 \cdot \frac{7}{20} = \frac{\cancel{10}^1 \cdot 7}{\cancel{20}_2} = \frac{7}{2} \]

b) \( 27 \cdot \frac{5}{18} \)
Simplificăm \( 27 \) și \( 18 \) prin cel mai mare divizor comun al lor, care este \( 9 \):
\[ 27 \cdot \frac{5}{18} = \frac{\cancel{27}^3 \cdot 5}{\cancel{18}_2} = \frac{15}{2} \]

c) \( \frac{6}{21} \cdot 14 \)
Simplificăm mai întâi fracția \( \frac{6}{21} \) prin \( 3 \), obținând \( \frac{2}{7} \), apoi simplificăm \( 7 \) cu \( 14 \) prin \( 7 \):
\[ \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{21}_7} \cdot 14 = \frac{2}{\cancel{7}_1} \cdot \cancel{14}^2 = 2 \cdot 2 = 4 \]

d) \( \frac{20}{42} \cdot 24 \)
Simplificăm fracția \( \frac{20}{42} \) prin \( 2 \) pentru a obține \( \frac{10}{21} \). Apoi simplificăm \( 21 \) și \( 24 \) prin \( 3 \):
\[ \frac{\cancel{20}^{10}}{\cancel{42}_{21}} \cdot 24 = \frac{10}{\cancel{21}_7} \cdot \cancel{24}^8 = \frac{80}{7} \]

e) \( 2\frac{1}{9} \cdot 3 \)
Introducem întregii în fracție: \( 2\frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{19}{9} \). Apoi simplificăm \( 3 \) cu \( 9 \) prin \( 3 \):
\[ \frac{19}{\cancel{9}_3} \cdot \cancel{3}^1 = \frac{19}{3} \]

f) \( 3\frac{1}{10} \cdot 24 \)
Transformăm numărul mixt: \( 3\frac{1}{10} = \frac{31}{10} \). Simplificăm \( 10 \) și \( 24 \) prin \( 2 \):
\[ \frac{31}{\cancel{10}_5} \cdot \cancel{24}^{12} = \frac{31 \cdot 12}{5} \]
Efectuăm înmulțirea:
\[ 31 \cdot 12 = 372 \]
Rezultatul este \( \frac{372}{5} \).

g) \( \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{5} \)
Nu există factori comuni pentru simplificare. Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei:
\[ \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{2}{45} \]

h) \( \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \)
Simplificăm \( 2 \) și \( 8 \) prin \( 2 \):
\[ \frac{1}{\cancel{8}_4} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12} \]

i) \( \frac{8}{36} \cdot \frac{12}{10} \)
Simplificăm \( 12 \) și \( 36 \) prin \( 12 \), iar \( 8 \) și \( 10 \) prin \( 2 \):
\[ \frac{\cancel{8}^4}{\cancel{36}_3} \cdot \frac{\cancel{12}^1}{\cancel{10}_5} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15} \]

j) \( \frac{3}{35} \cdot \frac{42}{15} \)
Simplificăm \( 3 \) cu \( 15 \) prin \( 3 \) și \( 42 \) cu \( 35 \) prin \( 7 \):
\[ \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{35}_5} \cdot \frac{\cancel{42}^6}{\cancel{15}_5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 5} = \frac{6}{25} \]

k) \( \frac{5}{18} \cdot \frac{8}{20} \)
Simplificăm \( 5 \) cu \( 20 \) prin \( 5 \) și \( 8 \) cu \( 18 \) prin \( 2 \):
\[ \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{18}_9} \cdot \frac{\cancel{8}^4}{\cancel{20}_4} = \frac{1}{\cancel{9}_9} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{4}_1} = \frac{1}{9} \]

l) \( \frac{6}{22} \cdot \frac{11}{36} \)
Simplificăm \( 11 \) cu \( 22 \) prin \( 11 \) și \( 6 \) cu \( 36 \) prin \( 6 \):
\[ \frac{\cancel{6}^1}{\cancel{22}_2} \cdot \frac{\cancel{11}^1}{\cancel{36}_6} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12} \]

m) \( 2\frac{1}{9} \cdot \frac{15}{19} \)
Transformăm: \( 2\frac{1}{9} = \frac{19}{9} \). Simplificăm \( 19 \) cu \( 19 \) și \( 15 \) cu \( 9 \) prin \( 3 \):
\[ \frac{\cancel{19}^1}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{19}_1} = \frac{5}{3} \]

n) \( 3\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{30} \)
Transformăm: \( 3\frac{3}{7} = \frac{24}{7} \). Simplificăm \( 7 \) cu \( 14 \) prin \( 7 \) și \( 24 \) cu \( 30 \) prin \( 6 \):
\[ \frac{\cancel{24}^4}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{30}_5} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{8}{5} \]

o) \( 2\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{28} \)
Transformăm: \( 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \). Simplificăm \( 3 \) cu \( 15 \) prin \( 3 \) și \( 8 \) cu \( 28 \) prin \( 4 \):
\[ \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{28}_7} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 7} = \frac{10}{7} \]

p) \( 4\frac{1}{2} \cdot 2\frac{3}{20} \)
Transformăm ambele fracții: \( 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2} \) și \( 2\frac{3}{20} = \frac{43}{20} \). Nu există factori comuni:
\[ \frac{9}{2} \cdot \frac{43}{20} = \frac{9 \cdot 43}{2 \cdot 20} \]
Efectuăm înmulțirea:
\[ 9 \cdot 43 = 387 \]
Rezultatul este \( \frac{387}{40} \).

Rezolvare pe scurt:

a) \( 10 \cdot \frac{7}{20} = \frac{7}{2} \); b) \( 27 \cdot \frac{5}{18} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} \); c) \( \frac{2}{7} \cdot 14 = 4 \); d) \( \frac{10}{21} \cdot 24 = \frac{10 \cdot 8}{7} = \frac{80}{7} \); e) \( \frac{19}{9} \cdot 3 = \frac{19}{3} \); f) \( \frac{31}{10} \cdot 24 = \frac{31 \cdot 12}{5} = \frac{372}{5} \); g) \( \frac{2}{45} \); h) \( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \); i) \( \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15} \); j) \( \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{25} \); k) \( \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} = \frac{1}{9} \); l) \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \); m) \( \frac{19}{9} \cdot \frac{15}{19} = \frac{5}{3} \); n) \( \frac{24}{7} \cdot \frac{14}{30} = \frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5} \); o) \( \frac{8}{3} \cdot \frac{15}{28} = \frac{2 \cdot 5}{7} = \frac{10}{7} \); p) \( \frac{9}{2} \cdot \frac{43}{20} = \frac{387}{40} \).

Cele mai importante aspecte ale lecției

Înmulțirea unui număr natural cu o fracție: Se înmulțește doar numărătorul cu numărul respectiv: $ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} $. Exemplu: $ 3 \cdot \frac{5}{16} = \frac{15}{16} $.
Înmulțirea a două fracții ordinare: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $. Exemplu: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21} $.
Simplificarea: Pentru a calcula mai ușor, se recomandă simplificarea termenilor înainte de a efectua înmulțirile.
Proprietăți: Înmulțirea fracțiilor este comutativă, asociativă, distributivă față de adunare/scădere și are pe $ 1 $ ca element neutru.
Fracții diadice: Sunt fracțiile cu numitorul putere a lui 2 (ex. $ \frac{3}{4} $). Suma, diferența și produsul lor sunt tot fracții diadice.

Prin înmulțirea unui număr natural cu o fracție ordinară se înțelege adunarea repetată a acelei fracții de un număr de ori egal cu numărul natural dat. Rezultatul este o fracție în care numărătorul se înmulțește cu numărul natural, iar numitorul rămâne neschimbat.

\[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \] pentru orice numere naturale $ a, n $ și $ b \neq 0 $

$ 7 \cdot \frac{3}{25} = \frac{7 \cdot 3}{25} = \frac{21}{25} $
$ \frac{4}{15} \cdot 5 = \frac{4 \cdot 5}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} $ (după simplificare prin $ 5 $)

Calculați produsul: $ 8 \cdot \frac{5}{12} $.

$ 8 \cdot \frac{5}{12} = \frac{8 \cdot 5}{12} = \frac{40}{12} $
Simplificăm fracția obținută prin $ 4 $:
$ \frac{40}{12}^{(4} = \frac{10}{3} $

Produsul a două fracții ordinare este o fracție care are ca numărător produsul numărătorilor celor două fracții, iar ca numitor produsul numitorilor acestora.

\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \] pentru orice numere naturale $ a, b, c, d $, unde $ b \neq 0 $ și $ d \neq 0 $

Reprezentare grafică: Pentru a vizualiza înmulțirea $ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} $, putem folosi un model geometric:

$Un dreptunghi împărțit în 4 coloane verticale egale, dintre care primele 3 coloane sunt colorate în albastru, reprezentând fracția 3/4.$ $Același dreptunghi împărțit suplimentar printr-o linie orizontală mediană în două rânduri egale. Primele 3 celule din rândul de sus (care fac parte din zona albastră inițială) sunt colorate în verde, reprezentând o jumătate (1/2) din cele 3/4 colorate anterior, adică fracția 3/8 din întreg.$

Din totalul de $ 4 \cdot 2 = 8 $ părți egale obținute, zona dublu colorată reprezintă $ 3 \cdot 1 = 3 $ părți, adică $ \frac{3}{8} $.

Pentru a simplifica calculele, se recomandă efectuarea simplificărilor (atât pe verticală, cât și pe diagonală) înainte de a înmulți numărătorii și numitorii între ei.

Calculul produsului $ \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{15} $ prin simplificare prealabilă:
Simplificăm pe diagonală $ 9 $ și $ 15 $ prin $ 3 $, iar $ 4 $ și $ 8 $ prin $ 4 $: \[ \frac{\not{9}^{3}}{\not{8}_{2}} \cdot \frac{\not{4}^{1}}{\not{15}_{5}} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} \]

Calculați produsul: $ \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21} $.

Simplificăm pe diagonală înainte de înmulțire:

$ 14 $ și $ 21 $ se simplifică prin $ 7 $ (rămân $ 2 $ și $ 3 $)
$ 10 $ și $ 25 $ se simplifică prin $ 5 $ (rămân $ 2 $ și $ 5 $)

Obținem: \[ \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} \]

Înmulțirea fracțiilor ordinare moștenește toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale:

Comutativitatea: Ordinea factorilor nu modifică produsul. \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} \]
Asociativitatea: Gruparea factorilor nu modifică rezultatul. \[ \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \right) \]
Numărul 1 este element neutru: Orice fracție înmulțită cu 1 rămâne neschimbată. \[ \frac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \]
Distributivitatea față de adunare și scădere: \[ \frac{e}{f} \cdot \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} + \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d} \] \[ \frac{e}{f} \cdot \left( \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} - \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d} \]

Calcul rapid folosind distributivitatea (factor comun): \[ \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{3}{7} + \frac{4}{7} \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{7} = \frac{5}{9} \cdot 1 = \frac{5}{9} \]

O fracție diadică este o fracție ordinară al cărei numitor este o putere a lui 2.

\[ \frac{a}{2^n} \] unde $ a, n $ sunt numere naturale

Suma, diferența și produsul oricăror două fracții diadice va genera întotdeauna o altă fracție diadică.

Fracțiile $ \frac{5}{4} $ (deoarece $ 4 = 2^2 $) și $ \frac{3}{2} $ (deoarece $ 2 = 2^1 $) sunt fracții diadice.
Produsul lor: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{8} \] Rezultatul $ \frac{15}{8} $ este o fracție diadică deoarece numitorul său, 8, este o putere a lui 2 ($ 8 = 2^3 $).

Probleme practice

Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Efectuați înmulțirea: $ 12 \cdot \frac{5}{36} $. Scrieți rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.

Aplicăm regula de înmulțire a unui număr natural cu o fracție: \[ 12 \cdot \frac{5}{36} = \frac{12 \cdot 5}{36} = \frac{60}{36} \] Simplificăm fracția prin cel mai mare divizor comun al numerelor 60 și 36, care este 12: \[ \frac{60}{36}^{(12} = \frac{5}{3} \] Răspuns: $ \frac{5}{3} $

Problema 2 (Dificultate: Medie)
Calculați produsul fracțiilor: $ \frac{18}{35} \cdot \frac{14}{27} $, efectuând simplificările corespunzătoare înainte de înmulțire.

Identificăm simplificările pe diagonală:

Numerele $ 18 $ și $ 27 $ se divid cu $ 9 $ (rămân $ 2 $ și respectiv $ 3 $).
Numerele $ 14 $ și $ 35 $ se divid cu $ 7 $ (rămân $ 2 $ și respectiv $ 5 $).

Efectuăm calculul cu noile valori: \[ \frac{\not{18}^{2}}{\not{35}_{5}} \cdot \frac{\not{14}^{2}}{\not{27}_{3}} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} \] Fracția $ \frac{4}{15} $ este ireductibilă.
Răspuns: $ \frac{4}{15} $

Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Calculați rezultatul expresiei de mai jos folosind proprietatea de distributivitate a înmulțirii: \[ \frac{8}{13} \cdot \frac{19}{11} - \frac{8}{13} \cdot \frac{8}{11} \]

Observăm că factorul $ \frac{8}{13} $ este comun în ambele produse. Îl dăm factor comun (aplicăm distributivitatea înmulțirii față de scădere): \[ \frac{8}{13} \cdot \left( \frac{19}{11} - \frac{8}{11} \right) \] Efectuăm mai întâi scăderea din paranteză: \[ \frac{19}{11} - \frac{8}{11} = \frac{19 - 8}{11} = \frac{11}{11} = 1 \] Acum înmulțim rezultatul cu factorul comun: \[ \frac{8}{13} \cdot 1 = \frac{8}{13} \] Răspuns: $ \frac{8}{13} $

Alege rezolvarea exercițiului:

Rezolvare scurtă

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

Rezolvare detaliată

a) \( 10 \cdot \frac{7}{20} \)

b) \( 27 \cdot \frac{5}{18} \)

c) \( \frac{6}{21} \cdot 14 \)

d) \( \frac{20}{42} \cdot 24 \)

e) \( 2\frac{1}{9} \cdot 3 \)

f) \( 3\frac{1}{10} \cdot 24 \)

g) \( \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{5} \)

h) \( \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \)

i) \( \frac{8}{36} \cdot \frac{12}{10} \)

j) \( \frac{3}{35} \cdot \frac{42}{15} \)

k) \( \frac{5}{18} \cdot \frac{8}{20} \)

l) \( \frac{6}{22} \cdot \frac{11}{36} \)

m) \( 2\frac{1}{9} \cdot \frac{15}{19} \)

n) \( 3\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{30} \)

o) \( 2\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{28} \)

p) \( 4\frac{1}{2} \cdot 2\frac{3}{20} \)

Rezolvare pe scurt:

Probleme practice

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: