Cele mai importante aspecte ale lecției
- Numitori egali: Păstrăm numitorul comun și efectuăm operația direct la numărători: \( \frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7} \).
- Numitori diferiți: Aducem mai întâi fracțiile la același numitor comun prin amplificare, apoi le adunăm sau le scădem: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
- Numere întregi: Orice număr natural \(n\) se scrie ca \( \frac{n}{1} \).
- Regulă de aur: Simplificați întotdeauna rezultatul final pentru a obține o fracție ireductibilă!
Pentru a aduna sau a scădea două sau mai multe fracții care au același numitor, se adună sau se scad doar numărătorii acestora, iar numitorul comun se păstrează neschimbat.
Adunarea:
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} \]
unde \(a, b, n\) sunt numere naturale și \(n \ge 1\)
Scăderea:
\[ \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} \]
unde \(a, b, n\) sunt numere naturale, \(a \ge b\) și \(n \ge 1\)
- \( \frac{93}{107} + \frac{13}{107} = \frac{93 + 13}{107} = \frac{106}{107} \)
- \( \frac{49}{73} - \frac{11}{73} = \frac{49 - 11}{73} = \frac{38}{73} \)
Pentru a aduna sau scădea fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aducem la același numitor (numitorul comun), iar apoi să aplicăm regulile de adunare/scădere pentru fracții cu același numitor.
Se determină un numitor comun, de regulă cel mai mic multiplu comun al numitorilor inițiali.
Se amplifică fiecare fracție pentru a obține noul numitor comun.
Se efectuează adunarea sau scăderea fracțiilor obținute (care au acum același numitor).
Calculați \( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \):
- Cel mai mic multiplu comun al numitorilor \(5\) și \(3\) este \( [5, 3] = 15 \).
- Amplificăm prima fracție cu \(3\) și pe a doua cu \(5\): \[ \stackrel{3)}{ \frac{1}{5} } = \frac{3}{15} \quad \text{și} \quad \stackrel{5)}{ \frac{1}{3} } = \frac{5}{15} \]
- Efectuăm adunarea: \[ \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15} \]
Simplificarea fracțiilor: Dacă fracțiile din operație nu sunt ireductibile, este recomandat să le simplificăm înainte de a le aduce la același numitor. De asemenea, rezultatul final trebuie simplificat până devine o fracție ireductibilă.
Operații cu numere întregi: Adunarea sau scăderea dintre un număr natural \(n\) și o fracție se realizează scriind numărul natural sub formă de fracție cu numitorul \(1\) (\( \frac{n}{1} \)).
\[ n \pm \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b \pm a}{b} \]
Efectuați calculul \( 2 - \frac{3}{5} \):
\[ 2 - \frac{3}{5} = \stackrel{5)}{ \frac{2}{1} } - \frac{3}{5} = \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Calculați suma fracțiilor și simplificați rezultatul obținut:
\[ \frac{7}{18} + \frac{5}{18} \]
Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii:
\[ \frac{7}{18} + \frac{5}{18} = \frac{7 + 5}{18} = \frac{12}{18} \]
Simplificăm fracția rezultată prin \(6\) pentru a o aduce la forma ireductibilă:
\[ \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \]
Răspuns: \( \frac{2}{3} \)
Problema 2 (Medie): Rezolvați următoarea operație cu fracții care au numitori diferiți:
\[ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \]
Răspuns: \( \frac{7}{12} \)
- Găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor \(6\) și \(4\): \( [6, 4] = 12 \).
- Amplificăm prima fracție cu \(2\) și pe a doua cu \(3\): \[ \stackrel{2)}{ \frac{5}{6} } = \frac{10}{12} \quad \text{și} \quad \stackrel{3)}{ \frac{1}{4} } = \frac{3}{12} \]
- Efectuăm scăderea: \[ \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12} \]
Răspuns: \( \frac{7}{12} \)
Problema 3 (Dificilă): Calculați valoarea următoarei expresii, scriind rezultatul sub formă de fracție ireductibilă:
\[ 3 - \frac{7}{10} - \frac{4}{5} \]
Scriem numărul întreg \(3\) ca fracție cu numitorul \(1\):
\[ \frac{3}{1} - \frac{7}{10} - \frac{4}{5} \]
Numitorul comun pentru \(1\), \(10\) și \(5\) este \(10\). Amplificăm corespunzător:
\[ \stackrel{10)}{ \frac{3}{1} } - \frac{7}{10} - \stackrel{2)}{ \frac{4}{5} } \]
Obținem:
\[ \frac{30}{10} - \frac{7}{10} - \frac{8}{10} \]
Efectuăm scăderile succesive de la stânga la dreapta:
\[ \frac{30 - 7 - 8}{10} = \frac{15}{10} \]
Simplificăm rezultatul prin \(5\) pentru a obține o fracție ireductibilă:
\[ \frac{15 : 5}{10 : 5} = \frac{3}{2} \]
Răspuns: \( \frac{3}{2} \)
