Cele mai importante aspecte ale lecției
Metoda comparației constă în scrierea ordonată a relațiilor dintre mărimi pentru a elimina una dintre necunoscute.
- Scăderea directă: Se folosește când o mărime are aceeași cantitate în ambele cazuri (ex: \(2 \text{ pixuri} \dots 5 \text{ caiete} = 46\) și \(2 \text{ pixuri} \dots 8 \text{ caiete} = 70 \implies 3 \text{ caiete} = 24\)).
- Aducerea la același termen: Se înmulțește una dintre relații pentru a obține cantități egale (ex: înmulțirea cu 2 pentru a egala numărul de scaune sau frezii).
- Înlocuirea: Se folosește când se cunoaște o relație directă de echivalență între obiecte (ex: \(1 \text{ mașinuță} = 2 \text{ păpuși}\)).
Metoda comparației este o metodă aritmetică utilizată pentru rezolvarea problemelor în care intervin două sau mai multe mărimi, prin compararea a două situații diferite, cu scopul de a elimina o necunoscută și de a o determina pe cealaltă.
Eliminarea unei necunoscute se poate realiza prin două procedee principale:
- Scădere (directă sau după aducerea la același termen de comparație);
- Înlocuire (substituție).
Așezarea datelor problemei pe două rânduri, aliniind mărimile de același fel unele sub altele.
Egalarea cantităților uneia dintre mărimi (dacă este necesar) prin înmulțirea sau împărțirea uneia dintre relații cu un număr potrivit.
Scăderea celor două relații pentru a elimina mărimea adusă la același număr de unități și aflarea valorii celeilalte mărimi.
Înlocuirea valorii aflate într-una dintre relațiile inițiale pentru a determina și cealaltă necunoscută.
Se aplică atunci când una dintre mărimi are deja același coeficient (aceeași valoare numerică) în ambele situații date de problemă. Prin scăderea directă a celor două relații, mărimea respectivă se elimină.
Într-o zi, 8 băieți și 5 fete au cules 55 kg de afine. A doua zi, 12 băieți și 5 fete au cules 75 kg de afine. Câte kilograme a cules un băiat?
Scrierea datelor: \[ 8 \text{ băieți} \dots\dots 5 \text{ fete} \dots\dots 55 \text{ kg} \] \[ 12 \text{ băieți} \dots\dots 5 \text{ fete} \dots\dots 75 \text{ kg} \]
Deoarece numărul de fete este același (5), prin scăderea celor două relații obținem diferența provenită doar de la băieți: \[ (12 - 8) \text{ băieți} \dots\dots 75 - 55 \text{ kg} \] \[ 4 \text{ băieți} \dots\dots 20 \text{ kg} \] \[ 1 \text{ băiat} \dots\dots 20 : 4 = 5 \text{ kg} \]
Scrierea datelor: \[ 8 \text{ băieți} \dots\dots 5 \text{ fete} \dots\dots 55 \text{ kg} \] \[ 12 \text{ băieți} \dots\dots 5 \text{ fete} \dots\dots 75 \text{ kg} \]
Deoarece numărul de fete este același (5), prin scăderea celor două relații obținem diferența provenită doar de la băieți: \[ (12 - 8) \text{ băieți} \dots\dots 75 - 55 \text{ kg} \] \[ 4 \text{ băieți} \dots\dots 20 \text{ kg} \] \[ 1 \text{ băiat} \dots\dots 20 : 4 = 5 \text{ kg} \]
Se aplică atunci când coeficienții niciunei mărimi nu coincid în cele două situații. Pentru a putea aplica scăderea, se înmulțește una dintre relații (sau ambele) cu un factor potrivit, astfel încât una dintre mărimi să aibă aceleași valori în ambele cazuri.
Trei birouri și patru scaune costă 1 080 de lei, iar cinci birouri și opt scaune costă 1 960 de lei.
Scrierea datelor: \[ 3 \text{ birouri} \dots\dots 4 \text{ scaune} \dots\dots 1\ 080 \text{ lei} \quad \mid \cdot 2 \] \[ 5 \text{ birouri} \dots\dots 8 \text{ scaune} \dots\dots 1\ 960 \text{ lei} \]
Dublăm prima situație pentru a avea același număr de scaune (8): \[ 6 \text{ birouri} \dots\dots 8 \text{ scaune} \dots\dots 2\ 160 \text{ lei} \] \[ 5 \text{ birouri} \dots\dots 8 \text{ scaune} \dots\dots 1\ 960 \text{ lei} \]
Prin scădere obținem prețul unui birou: \[ (6 - 5) \text{ birouri} \dots\dots 2\ 160 - 1\ 960 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ birou} \dots\dots 200 \text{ lei} \]
Scrierea datelor: \[ 3 \text{ birouri} \dots\dots 4 \text{ scaune} \dots\dots 1\ 080 \text{ lei} \quad \mid \cdot 2 \] \[ 5 \text{ birouri} \dots\dots 8 \text{ scaune} \dots\dots 1\ 960 \text{ lei} \]
Dublăm prima situație pentru a avea același număr de scaune (8): \[ 6 \text{ birouri} \dots\dots 8 \text{ scaune} \dots\dots 2\ 160 \text{ lei} \] \[ 5 \text{ birouri} \dots\dots 8 \text{ scaune} \dots\dots 1\ 960 \text{ lei} \]
Prin scădere obținem prețul unui birou: \[ (6 - 5) \text{ birouri} \dots\dots 2\ 160 - 1\ 960 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ birou} \dots\dots 200 \text{ lei} \]
Se folosește atunci când problema ne oferă o relație directă de echivalență între cele două mărimi (de exemplu, o unitate dintr-o mărime valorează cât un anumit număr de unități din cealaltă mărime).
13 lădițe cu ardei și 6 lădițe cu vinete cântăresc 62 kg. O lădiță cu vinete cântărește cât 3 lădițe cu ardei.
Scrierea datelor: \[ 13 \text{ lădițe ardei} \dots\dots 6 \text{ lădițe vinete} \dots\dots 62 \text{ kg} \] \[ 1 \text{ lădiță vinete} = 3 \text{ lădițe ardei} \]
Înlocuim cele 6 lădițe de vinete cu echivalentul lor în lădițe de ardei: \[ 6 \text{ lădițe vinete} = 6 \cdot 3 = 18 \text{ lădițe ardei} \]
Noua relație devine: \[ 13 \text{ lădițe ardei} + 18 \text{ lădițe ardei} = 62 \text{ kg} \] \[ 31 \text{ lădițe ardei} = 62 \text{ kg} \] \[ 1 \text{ lădiță ardei} = 62 : 31 = 2 \text{ kg} \]
Scrierea datelor: \[ 13 \text{ lădițe ardei} \dots\dots 6 \text{ lădițe vinete} \dots\dots 62 \text{ kg} \] \[ 1 \text{ lădiță vinete} = 3 \text{ lădițe ardei} \]
Înlocuim cele 6 lădițe de vinete cu echivalentul lor în lădițe de ardei: \[ 6 \text{ lădițe vinete} = 6 \cdot 3 = 18 \text{ lădițe ardei} \]
Noua relație devine: \[ 13 \text{ lădițe ardei} + 18 \text{ lădițe ardei} = 62 \text{ kg} \] \[ 31 \text{ lădițe ardei} = 62 \text{ kg} \] \[ 1 \text{ lădiță ardei} = 62 : 31 = 2 \text{ kg} \]
Metoda comparației ne permite să identificăm dacă datele unei probleme sunt incorecte sau incomplete:
- Date insuficiente: Atunci când a doua relație este doar un multiplu al primei relații, neaducând nicio informație nouă.
Exemplu: 3 cărți și 4 caiete costă 42 de lei, iar 9 cărți și 12 caiete costă 126 de lei (ambele mărimi și prețul s-au triplat, deci nu putem afla valorile individuale). - Date contradictorii: Atunci când relațiile matematice se contrazic din punct de vedere logic.
Exemplu: 3 cărți și 4 caiete costă 42 de lei, iar 3 cărți și 7 caiete costă 40 de lei (este imposibil ca mai multe caiete să coste mai puțin, menținând numărul de cărți constant).
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Două pixuri și cinci caiete costă 46 de lei, iar două pixuri și opt caiete costă 70 de lei. Determină cât costă un pix și cât costă un caiet.
Scriem relațiile unele sub altele:
\[ 2 \text{ pixuri} \dots\dots 5 \text{ caiete} \dots\dots 46 \text{ lei} \]
\[ 2 \text{ pixuri} \dots\dots 8 \text{ caiete} \dots\dots 70 \text{ lei} \]
Observăm că numărul de pixuri este identic. Prin scădere, eliminăm pixurile: \[ (8 - 5) \text{ caiete} \dots\dots 70 - 46 \text{ lei} \] \[ 3 \text{ caiete} \dots\dots 24 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ caiet} = 24 : 3 = 8 \text{ lei} \]
Înlocuim în prima relație prețul unui caiet: \[ 2 \text{ pixuri} + 5 \cdot 8 \text{ lei} = 46 \text{ lei} \] \[ 2 \text{ pixuri} + 40 \text{ lei} = 46 \text{ lei} \] \[ 2 \text{ pixuri} = 46 - 40 = 6 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ pix} = 6 : 2 = 3 \text{ lei} \]
Răspuns: Un caiet costă 8 lei, iar un pix costă 3 lei.
Observăm că numărul de pixuri este identic. Prin scădere, eliminăm pixurile: \[ (8 - 5) \text{ caiete} \dots\dots 70 - 46 \text{ lei} \] \[ 3 \text{ caiete} \dots\dots 24 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ caiet} = 24 : 3 = 8 \text{ lei} \]
Înlocuim în prima relație prețul unui caiet: \[ 2 \text{ pixuri} + 5 \cdot 8 \text{ lei} = 46 \text{ lei} \] \[ 2 \text{ pixuri} + 40 \text{ lei} = 46 \text{ lei} \] \[ 2 \text{ pixuri} = 46 - 40 = 6 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ pix} = 6 : 2 = 3 \text{ lei} \]
Răspuns: Un caiet costă 8 lei, iar un pix costă 3 lei.
Problema 2 (Medie): Un buchet cu 3 lalele și 4 frezii costă 25 de lei, iar un buchet cu 5 lalele și 8 frezii costă 47 de lei. Cât costă o lalea? Dar o frezie?
Scriem datele problemei:
\[ 3 \text{ lalele} \dots\dots 4 \text{ frezii} \dots\dots 25 \text{ lei} \quad \mid \cdot 2 \]
\[ 5 \text{ lalele} \dots\dots 8 \text{ frezii} \dots\dots 47 \text{ lei} \]
Înmulțim prima relație cu 2 pentru a egala numărul de frezii: \[ 6 \text{ lalele} \dots\dots 8 \text{ frezii} \dots\dots 50 \text{ lei} \] \[ 5 \text{ lalele} \dots\dots 8 \text{ frezii} \dots\dots 47 \text{ lei} \]
Scădem cele două relații: \[ (6 - 5) \text{ lalele} \dots\dots 50 - 47 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ lalea} = 3 \text{ lei} \]
Înlocuim prețul unei lalele în prima relație: \[ 3 \cdot 3 \text{ lei} + 4 \text{ frezii} = 25 \text{ lei} \] \[ 9 \text{ lei} + 4 \text{ frezii} = 25 \text{ lei} \] \[ 4 \text{ frezii} = 25 - 9 = 16 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ frezie} = 16 : 4 = 4 \text{ lei} \]
Răspuns: O lalea costă 3 lei, iar o frezie costă 4 lei.
Înmulțim prima relație cu 2 pentru a egala numărul de frezii: \[ 6 \text{ lalele} \dots\dots 8 \text{ frezii} \dots\dots 50 \text{ lei} \] \[ 5 \text{ lalele} \dots\dots 8 \text{ frezii} \dots\dots 47 \text{ lei} \]
Scădem cele două relații: \[ (6 - 5) \text{ lalele} \dots\dots 50 - 47 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ lalea} = 3 \text{ lei} \]
Înlocuim prețul unei lalele în prima relație: \[ 3 \cdot 3 \text{ lei} + 4 \text{ frezii} = 25 \text{ lei} \] \[ 9 \text{ lei} + 4 \text{ frezii} = 25 \text{ lei} \] \[ 4 \text{ frezii} = 25 - 9 = 16 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ frezie} = 16 : 4 = 4 \text{ lei} \]
Răspuns: O lalea costă 3 lei, iar o frezie costă 4 lei.
Problema 3 (Dificilă): Dacă 4 păpuși și 7 mașinuțe costă 360 de lei, iar o mașinuță costă cât 2 păpuși, determină prețul fiecărui obiect.
Scriem relațiile matematice:
\[ 4 \text{ păpuși} \dots\dots 7 \text{ mașinuțe} \dots\dots 360 \text{ lei} \]
\[ 1 \text{ mașinuță} = 2 \text{ păpuși} \]
Folosim metoda înlocuirii. Exprimăm cele 7 mașinuțe în funcție de păpuși: \[ 7 \text{ mașinuțe} = 7 \cdot 2 \text{ păpuși} = 14 \text{ păpuși} \]
Înlocuim în prima relație: \[ 4 \text{ păpuși} + 14 \text{ păpuși} = 360 \text{ lei} \] \[ 18 \text{ păpuși} = 360 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ păpușă} = 360 : 18 = 20 \text{ lei} \]
Calculăm prețul unei mașinuțe: \[ 1 \text{ mașinuță} = 2 \cdot 20 = 40 \text{ lei} \]
Răspuns: O păpușă costă 20 de lei, iar o mașinuță costă 40 de lei.
Folosim metoda înlocuirii. Exprimăm cele 7 mașinuțe în funcție de păpuși: \[ 7 \text{ mașinuțe} = 7 \cdot 2 \text{ păpuși} = 14 \text{ păpuși} \]
Înlocuim în prima relație: \[ 4 \text{ păpuși} + 14 \text{ păpuși} = 360 \text{ lei} \] \[ 18 \text{ păpuși} = 360 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ păpușă} = 360 : 18 = 20 \text{ lei} \]
Calculăm prețul unei mașinuțe: \[ 1 \text{ mașinuță} = 2 \cdot 20 = 40 \text{ lei} \]
Răspuns: O păpușă costă 20 de lei, iar o mașinuță costă 40 de lei.
