Cele mai importante aspecte ale lecției
Fracții zecimale: Reprezintă scrierea sub o altă formă a fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10. Au o parte întreagă și o parte zecimală despărțite de virgulă (Exemplu: \( \frac{35}{10} = 3,5 \)).
Proprietăți esențiale:
Proprietăți esențiale:
- Adunarea/scăderea se fac așezând virgula sub virgulă: \( 2,5 + 1,23 = 2,50 + 1,23 = 3,73 \).
- Înmulțirea se face ignorând virgula, adăugând-o la final prin însumarea numărului de zecimale ale factorilor: \( 1,2 \cdot 0,3 = 0,36 \).
- Împărțirea la puteri ale lui 10 mută virgula spre stânga: \( 45,6 : 100 = 0,456 \).
O fracție zecimală este formată din două părți despărțite de o virgulă: partea întreagă (aflată în stânga virgulei) și partea zecimală (aflată în dreapta virgulei). Cifrele din dreapta virgulei se numesc zecimale.
Unități fracționare zecimale:
- Prima cifră din dreapta virgulei se numește zecime: \( \frac{1}{10} = 0,1 \)
- A doua cifră din dreapta virgulei se numește sutime: \( \frac{1}{100} = 0,01 \)
- A treia cifră din dreapta virgulei se numește miime: \( \frac{1}{1000} = 0,001 \)
\[ \frac{1}{10^n} = 0,\underbrace{00...01}_{n \text{ cifre}} \]
- Orice număr natural se poate scrie ca o fracție zecimală finită: \( 213 = 213,0 \).
- La sfârșitul părții zecimale se pot adăuga sau șterge oricâte zerouri fără ca valoarea numărului să se schimbe: \( 5,12 = 5,120 = 5,12000 \).
Descompunerea zecimală: Orice fracție zecimală poate fi scrisă ca sumă:
\[ 234,549 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 1 + \frac{5}{10} + \frac{4}{100} + \frac{9}{1000} \]
\[ \overline{ab,cde} = a \cdot 10 + b \cdot 1 + \frac{c}{10} + \frac{d}{100} + \frac{e}{1000} \]
1. Din fracție ordinară (cu numitor putere a lui 10) în fracție zecimală:
Se scrie numărătorul și se despart prin virgulă, de la dreapta spre stânga, un număr de cifre egal cu exponentul lui 10 de la numitor. Dacă cifrele nu sunt suficiente, se adaugă zerouri în stânga.
\[ \frac{253}{10} = 25,3; \quad \frac{8}{100} = 0,08; \quad \frac{23}{1000} = 0,023 \]
2. Din fracție zecimală finită în fracție ordinară:
La numărător se scrie numărul fără virgulă, iar la numitor se scrie o putere a lui 10 cu exponentul egal cu numărul de zecimale.
\[ 23,567 = \frac{23567}{1000}; \quad 0,0435 = \frac{435}{10000} \]
3. Din fracție zecimală periodică simplă în fracție ordinară:
La numărător se scrie numărul fără virgulă din care se scade partea întreagă, iar la numitor se scriu atâtea cifre de 9 câte cifre sunt în perioadă.
\[ 8,(23) = \frac{823 - 8}{99} = \frac{815}{99} \]
4. Din fracție zecimală periodică mixtă în fracție ordinară:
La numărător se scrie numărul fără virgulă din care se scade numărul format din partea întreagă și partea neperiodică, iar la numitor se scriu atâtea cifre de 9 câte cifre sunt în perioadă, urmate de atâtea cifre de 0 câte cifre sunt în partea neperiodică.
\[ 1,6(3) = \frac{163 - 16}{90} = \frac{147}{90} = \frac{49}{30} \]
Compararea:
- Dacă părțile întregi sunt diferite, este mai mare fracția cu partea întreagă mai mare: \( 26,12 > 23,34 \) (deoarece \( 26 > 23 \)).
- Dacă părțile întregi sunt egale, se compară părțile zecimale cifră cu cifră, de la stânga la dreapta. Este mai mare fracția care are prima cifră diferită mai mare: \( 39,132 > 39,12 \) (la sutimi, \( 3 > 2 \)).
Aproximarea prin lipsă: Se obține prin eliminarea tuturor zecimalelor de după ordinul considerat (zecimi, sutimi, miimi).
Exemplu: Aproximarea prin lipsă la sutimi pentru \( 13,3865 \) este \( 13,38 \).
Exemplu: Aproximarea prin lipsă la sutimi pentru \( 13,3865 \) este \( 13,38 \).
Aproximarea prin adaos: Se obține prin mărirea cu o unitate a ultimei cifre a aproximării prin lipsă.
Exemplu: Aproximarea prin adaos la sutimi pentru \( 13,3865 \) este \( 13,39 \).
Exemplu: Aproximarea prin adaos la sutimi pentru \( 13,3865 \) este \( 13,39 \).
Rotunjirea: Se analizează prima cifră din dreapta ordinului la care se face rotunjirea:
- Dacă această cifră este \( < 5 \), se efectuează aproximarea prin lipsă.
- Dacă această cifră este \( \ge 5 \), se efectuează aproximarea prin adaos.
Se așază termenii unul sub altul, astfel încât virgula să fie sub virgulă (unitățile sub unități, zecimile sub zecimi etc.).
Dacă numărul de zecimale diferă, se adaugă zerouri la sfârșitul părții zecimale a termenului cu mai puține zecimale.
Se efectuează operația exact ca la numerele naturale, iar virgula se coboară la rezultat pe aceeași linie verticală.
Adunarea:
\[ \begin{array}{r@{\quad}l} 20,25 \\ + \phantom{0}2,79 \\ \hline 23,04 \end{array} \]
Scăderea:
\[ \begin{array}{r@{\quad}l} 3,800 \\ - 1,356 \\ \hline 2,444 \end{array} \]
Înmulțirea cu o putere a lui 10: Virgula se mută spre dreapta peste atâtea cifre cât arată exponentul lui 10 (completând cu zerouri la dreapta dacă este necesar).
\[ 2,34 \cdot 10 = 23,4; \quad 2,34 \cdot 1000 = 2340 \]
Înmulțirea cu 0,1; 0,01; 0,001: Virgula se mută spre stânga peste atâtea cifre câte zecimale are al doilea factor (completând cu zerouri la stânga dacă este necesar).
\[ 2,34 \cdot 0,1 = 0,234; \quad 2,34 \cdot 0,01 = 0,0234 \]
Înmulțirea generală: Se înmulțesc numerele fără a ține cont de virgulă. La rezultatul obținut, se despart prin virgulă de la dreapta spre stânga atâtea cifre câte zecimale au în total cei doi factori.
\[ 4,56 \ (2 \text{ zecimale}) \cdot 5,4 \ (1 \text{ zecimală}) = 24,624 \ (3 \text{ zecimale}) \]
Împărțirea la o putere a lui 10: Se mută virgula spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are împărțitorul.
\[ 125 : 10 = 12,5; \quad 234 : 100\ 000 = 0,00234 \]
Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală: Dacă împărțirea nu este exactă, se pune virgulă după deîmpărțit și după cât, apoi se adaugă zerouri la deîmpărțit pentru a continua calculul.
\[ 346 : 5 = 69,2 \]
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural: Se împarte mai întâi partea întreagă la numărul dat, se scrie virgula la cât, iar apoi se continuă împărțirea în mod obișnuit cu partea zecimală.
\[ 25,75 : 5 = 5,15 \]
Un număr rațional pozitiv este un număr care poate fi scris sub formă de fracție ordinară, fracție zecimală sau sub formă de procent.
Exemplu: \( \frac{1}{4} = 0,25 = 25\% \) reprezintă același număr rațional pozitiv.
Exemplu: \( \frac{1}{4} = 0,25 = 25\% \) reprezintă același număr rațional pozitiv.
Orice număr natural este un număr rațional, deoarece poate fi scris cu numitorul 1: \( 5 = \frac{5}{1} \).
Ordinea efectuării operațiilor:
- Operații de ordinul III: ridicarea la putere;
- Operații de ordinul II: înmulțirea și împărțirea, în ordinea în care sunt scrise;
- Operații de ordinul I: adunarea și scăderea, în ordinea în care sunt scrise.
Se determină valoarea corespunzătoare unei singure unități pentru a putea calcula ulterior valoarea cerută.
Se elimină o mărime necunoscută prin compararea și scăderea a două relații date.
Mărimile necunoscute se reprezintă prin segmente de dreaptă egale pentru a evidenția diferențele sau raportul dintre ele.
Se pornește de la rezultatul final și se aplică operațiile inverse pentru a afla datele inițiale.
Se presupune că toate elementele din problemă sunt de același tip, analizând apoi diferențele față de datele reale pentru a ajusta calculul.
Frecvența absolută reprezintă numărul de apariții ale unei valori în setul de date.
Frecvența relativă este raportul dintre frecvența absolută și numărul total de date colectate.
Media aritmetică simplă:
\[ m_a = \frac{V_1 + V_2 + ... + V_n}{n} \]
Media aritmetică ponderată: Utilizată când datele au frecvențe (ponderi) diferite:
\[ m_p = \frac{V_1 \cdot f_1 + V_2 \cdot f_2 + ... + V_k \cdot f_k}{f_1 + f_2 + ... + f_k} \]
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Transformați fracția zecimală \( 1,75 \) în fracție ordinară ireductibilă.
Scriem fracția ca raport de putere a lui 10:
\[ 1,75 = \frac{175}{100} \]
Simplificăm fracția prin cel mai mare divizor comun al numerelor 175 și 100, care este 25:
\[ \frac{175 : 25}{100 : 25} = \frac{7}{4} \]
Răspuns: \( \frac{7}{4} \)
Problemă 2 (Medie): Determinați a 50-a zecimală a numărului \( 5,1(234) \).
Zecimalele numărului sunt date de:
- Prima zecimală (neperiodică): \( 1 \)
- Zecimalele următoare sunt grupate periodic: \( (234) \), format din 3 cifre.
- Scădem cifra neperiodică: \( 50 - 1 = 49 \) zecimale rămase în grupele periodice.
- Împărțim 49 la numărul de cifre din perioadă (3): \( 49 = 16 \cdot 3 + 1 \).
- Restul obținut este 1, deci a 50-a zecimală corespunde primei cifre din perioadă, adică \( 2 \).
Problemă 3 (Medie): Calculați valoarea expresiei: \( \left[ (1,5)^2 + (3,8 - 1,4 \cdot 2) \right] \cdot 10 \).
Respectăm ordinea efectuării operațiilor:
- Calculăm înmulțirea din paranteză: \( 1,4 \cdot 2 = 2,8 \).
- Calculăm scăderea din paranteză: \( 3,8 - 2,8 = 1 \).
- Calculăm puterea: \( (1,5)^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \).
- Efectuăm adunarea din paranteza dreaptă: \( 2,25 + 1 = 3,25 \).
- Efectuăm înmulțirea finală: \( 3,25 \cdot 10 = 32,5 \).
Problemă 4 (Dificilă): La un magazin, 3 kg de mere și 4 kg de pere costă în total 38 lei, iar 3 kg de mere și 7 kg de pere costă 53 lei. Aflați prețul unui kilogram de mere și al unui kilogram de pere folosind o metodă aritmetică.
Aplicăm metoda comparației:
3 kg mere ............. 4 kg pere ............. 38 lei
3 kg mere ............. 7 kg pere ............. 53 lei
Observăm că diferența de preț provine exclusiv din diferența de cantitate a perelor:
\( 7 \text{ kg} - 4 \text{ kg} = 3 \text{ kg pere} \)
Aceste 3 kg de pere costă: \( 53 - 38 = 15 \text{ lei} \).
Prin urmare, 1 kg de pere costă: \( 15 : 3 = 5 \text{ lei} \).
Înlocuim prețul perelor în prima relație:
\( 3 \text{ kg mere} + 4 \cdot 5 \text{ lei} = 38 \text{ lei} \)
\( 3 \text{ kg mere} + 20 \text{ lei} = 38 \text{ lei} \)
\( 3 \text{ kg mere} = 18 \text{ lei} \)
1 kg de mere costă: \( 18 : 3 = 6 \text{ lei} \).
Răspuns: Merele costă 6 lei/kg, iar perele 5 lei/kg.
3 kg mere ............. 4 kg pere ............. 38 lei
3 kg mere ............. 7 kg pere ............. 53 lei
Observăm că diferența de preț provine exclusiv din diferența de cantitate a perelor:
\( 7 \text{ kg} - 4 \text{ kg} = 3 \text{ kg pere} \)
Aceste 3 kg de pere costă: \( 53 - 38 = 15 \text{ lei} \).
Prin urmare, 1 kg de pere costă: \( 15 : 3 = 5 \text{ lei} \).
Înlocuim prețul perelor în prima relație:
\( 3 \text{ kg mere} + 4 \cdot 5 \text{ lei} = 38 \text{ lei} \)
\( 3 \text{ kg mere} + 20 \text{ lei} = 38 \text{ lei} \)
\( 3 \text{ kg mere} = 18 \text{ lei} \)
1 kg de mere costă: \( 18 : 3 = 6 \text{ lei} \).
Răspuns: Merele costă 6 lei/kg, iar perele 5 lei/kg.
