Cele mai importante aspecte ale lecției
Metoda reducerii la unitate constă în aflarea valorii unei singure unități pentru a putea calcula ulterior valoarea cerută în problemă.
• La dependența directă (mărimi direct proporționale): Mărimile cresc sau scad în același timp. Reducerea la unitate se face prin împărțire, iar pasul următor prin înmulțire.
Exemplu: Dacă 3 pixuri costă 12 lei, atunci 1 pix costă \(12:3=4\) lei, iar 5 pixuri costă \(5 \cdot 4 = 20\) lei.
• La dependența inversă (mărimi invers proporționale): O mărime crește în timp ce cealaltă scade. Reducerea la unitate se face prin înmulțire, iar pasul următor prin împărțire.
Exemplu: Dacă 2 oameni termină o lucrare în 6 ore, atunci 1 om o termină în \(2 \cdot 6 = 12\) ore, iar 3 oameni o termină în \(12:3=4\) ore.
• La dependența directă (mărimi direct proporționale): Mărimile cresc sau scad în același timp. Reducerea la unitate se face prin împărțire, iar pasul următor prin înmulțire.
Exemplu: Dacă 3 pixuri costă 12 lei, atunci 1 pix costă \(12:3=4\) lei, iar 5 pixuri costă \(5 \cdot 4 = 20\) lei.
• La dependența inversă (mărimi invers proporționale): O mărime crește în timp ce cealaltă scade. Reducerea la unitate se face prin înmulțire, iar pasul următor prin împărțire.
Exemplu: Dacă 2 oameni termină o lucrare în 6 ore, atunci 1 om o termină în \(2 \cdot 6 = 12\) ore, iar 3 oameni o termină în \(12:3=4\) ore.
Metoda reducerii la unitate este o metodă aritmetică utilizată pentru rezolvarea problemelor în care datele depind unele de altele. Rezolvarea se realizează printr-un pas intermediar, care constă în aflarea valorii corespunzătoare unei singure unități.
Transcrierea datelor: Se așază datele problemei în mod organizat, unele sub altele, pentru a evidenția relația dintre ele.
Stabilirea tipului de dependență: Se determină dacă mărimile sunt direct proporționale sau invers proporționale.
Reducerea la unitate: Se calculează valoarea unei singure unități dintr-o anumită mărime.
Aflarea rezultatului final: Se determină valoarea cerută de problemă prin înmulțire sau împărțire.
Două mărimi sunt direct proporționale dacă atunci când una crește (sau scade) de un anumit număr de ori, cealaltă mărime crește (sau scade) de același număr de ori.
Dacă Alina cumpără 5 trandafiri cu 55 de lei, cât va plăti pentru 7 trandafiri de același fel?
Pasul 1: Reducerea la unitate (aflăm prețul unui singur trandafir): \[ 55 : 5 = 11 \text{ lei (un trandafir)} \] Pasul 2: Calcularea valorii pentru cantitatea cerută: \[ 7 \cdot 11 = 77 \text{ de lei (7 trandafiri)} \]
Pasul 1: Reducerea la unitate (aflăm prețul unui singur trandafir): \[ 55 : 5 = 11 \text{ lei (un trandafir)} \] Pasul 2: Calcularea valorii pentru cantitatea cerută: \[ 7 \cdot 11 = 77 \text{ de lei (7 trandafiri)} \]
Dacă 3 pachete conțin 24 de biscuiți, câți biscuiți se găsesc în 5 pachete de același fel?
3 pachete .................................... 24 de biscuiți
1 pachet ...................................... \( 24 : 3 = 8 \) biscuiți
5 pachete .................................... \( 8 \cdot 5 = 40 \) de biscuiți
Răspuns: 40 de biscuiți.
1 pachet ...................................... \( 24 : 3 = 8 \) biscuiți
5 pachete .................................... \( 8 \cdot 5 = 40 \) de biscuiți
Răspuns: 40 de biscuiți.
Două mărimi sunt invers proporționale dacă atunci când una crește (sau scade) de un anumit număr de ori, cealaltă scade (sau crește) de același număr de ori.
Un bunic a arat propriul ogor în 4 zile folosind 3 tractoare. În câte zile va termina de arat ogorul dacă are la dispoziție doar 2 tractoare?
Pasul 1: Reducerea la unitate (aflăm în cât timp ar ara ogorul un singur tractor - va munci de 3 ori mai mult timp): \[ 3 \cdot 4 = 12 \text{ zile (un singur tractor)} \] Pasul 2: Calcularea timpului pentru numărul nou de tractoare (două tractoare vor lucra de 2 ori mai repede): \[ 12 : 2 = 6 \text{ zile (două tractoare)} \]
Pasul 1: Reducerea la unitate (aflăm în cât timp ar ara ogorul un singur tractor - va munci de 3 ori mai mult timp): \[ 3 \cdot 4 = 12 \text{ zile (un singur tractor)} \] Pasul 2: Calcularea timpului pentru numărul nou de tractoare (două tractoare vor lucra de 2 ori mai repede): \[ 12 : 2 = 6 \text{ zile (două tractoare)} \]
Patru muncitori pot construi gardul unei proprietăți în 12 zile. În câte zile ar putea construi același gard șase muncitori?
4 muncitori .................................... 12 zile
1 muncitor ...................................... \( 12 \cdot 4 = 48 \) de zile
6 muncitori .................................... \( 48 : 6 = 8 \) zile
Răspuns: 8 zile.
1 muncitor ...................................... \( 12 \cdot 4 = 48 \) de zile
6 muncitori .................................... \( 48 : 6 = 8 \) zile
Răspuns: 8 zile.
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Dacă pentru 11 ornamente de Crăciun s-au plătit 121 de lei, cât vor costa 15 ornamente de același fel?
Mărimile sunt direct proporționale (mai multe ornamente costă mai mult).
1. Aflăm prețul unui ornament (reducerea la unitate): \[ 121 : 11 = 11 \text{ lei pentru un ornament} \] 2. Aflăm prețul pentru 15 ornamente: \[ 15 \cdot 11 = 165 \text{ de lei} \] Răspuns: 165 de lei.
1. Aflăm prețul unui ornament (reducerea la unitate): \[ 121 : 11 = 11 \text{ lei pentru un ornament} \] 2. Aflăm prețul pentru 15 ornamente: \[ 15 \cdot 11 = 165 \text{ de lei} \] Răspuns: 165 de lei.
Problema 2 (Medie): Pentru finalizarea unei lucrări, 12 muncitori trebuie să lucreze 100 de zile. În câte zile se va finaliza lucrarea dacă echipei i se mai alătură, încă din prima zi, alți 3 muncitori cu aceeași productivitate?
Mărimile sunt invers proporționale (mai mulți muncitori vor termina lucrarea în mai puține zile).
1. Calculăm numărul total de muncitori din noua echipă: \[ 12 + 3 = 15 \text{ muncitori} \] 2. Calculăm în câte zile ar termina lucrarea un singur muncitor: \[ 100 \cdot 12 = 1200 \text{ de zile} \] 3. Calculăm în câte zile vor termina lucrarea cei 15 muncitori: \[ 1200 : 15 = 80 \text{ de zile} \] Răspuns: 80 de zile.
1. Calculăm numărul total de muncitori din noua echipă: \[ 12 + 3 = 15 \text{ muncitori} \] 2. Calculăm în câte zile ar termina lucrarea un singur muncitor: \[ 100 \cdot 12 = 1200 \text{ de zile} \] 3. Calculăm în câte zile vor termina lucrarea cei 15 muncitori: \[ 1200 : 15 = 80 \text{ de zile} \] Răspuns: 80 de zile.
Problema 3 (Medie): Din 24 litri de apă de mare se obțin 400 g de sare. De câți litri de apă este nevoie pentru a obține un kilogram de sare?
Mărimile sunt direct proporționale. Transformăm mai întâi unitățile de măsură:
\[ 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g} \]
1. Aflăm cantitatea de apă necesară pentru a obține 100 g de sare:
\[ 400 \text{ g} : 4 = 100 \text{ g de sare} \implies 24 \text{ l} : 4 = 6 \text{ litri de apă} \]
2. Pentru a obține 1000 g (adică de 10 ori mai mult decât 100 g), înmulțim cantitatea de apă cu 10:
\[ 6 \cdot 10 = 60 \text{ litri de apă} \]
Metodă alternativă (reducerea directă la unitatea de gram):
Pentru 1 g de sare este nevoie de: \[ 24 : 400 = 0,06 \text{ litri de apă} \]
Pentru 1000 g de sare este nevoie de: \[ 0,06 \cdot 1000 = 60 \text{ litri de apă} \] Răspuns: 60 de litri.
Pentru 1 g de sare este nevoie de: \[ 24 : 400 = 0,06 \text{ litri de apă} \]
Pentru 1000 g de sare este nevoie de: \[ 0,06 \cdot 1000 = 60 \text{ litri de apă} \] Răspuns: 60 de litri.
Problema 4 (Dificilă): Un bazin este alimentat de robinete identice cu același debit. Știind că 36 de robinete pot umple bazinul în 6 ore, în cât timp vor umple bazinul 54 de robinete de același fel?
Mărimile sunt invers proporționale (mai multe robinete vor umple bazinul într-un timp mai scurt).
1. Aflăm în cât timp ar umple bazinul un singur robinet: \[ 36 \cdot 6 = 216 \text{ ore} \] 2. Aflăm în cât timp vor umple bazinul cele 54 de robinete: \[ 216 : 54 = 4 \text{ ore} \] Răspuns: 4 ore.
1. Aflăm în cât timp ar umple bazinul un singur robinet: \[ 36 \cdot 6 = 216 \text{ ore} \] 2. Aflăm în cât timp vor umple bazinul cele 54 de robinete: \[ 216 : 54 = 4 \text{ ore} \] Răspuns: 4 ore.
