Cele mai importante aspecte ale lecției
Metoda figurativă transpune vizual enunțul problemei prin desene (segmente sau simboluri):
• Suma și Diferența: Eliminăm diferența din sumă pentru a obține părți egale, apoi împărțim la 2 pentru a afla numărul mai mic: \( \text{număr mic} = (\text{Sumă} - \text{Diferență}) : 2 \).
• Suma și Câtul: Împărțim suma totală la numărul total de părți egale pentru a găsi segmentul de bază: \( \text{număr mic} = \text{Sumă} : (\text{părți} + 1) \).
• Diferența și Câtul: Împărțim diferența la diferența de segmente dintre numere: \( \text{număr mic} = \text{Diferență} : (\text{părți} - 1) \).
• Suma și Diferența: Eliminăm diferența din sumă pentru a obține părți egale, apoi împărțim la 2 pentru a afla numărul mai mic: \( \text{număr mic} = (\text{Sumă} - \text{Diferență}) : 2 \).
• Suma și Câtul: Împărțim suma totală la numărul total de părți egale pentru a găsi segmentul de bază: \( \text{număr mic} = \text{Sumă} : (\text{părți} + 1) \).
• Diferența și Câtul: Împărțim diferența la diferența de segmente dintre numere: \( \text{număr mic} = \text{Diferență} : (\text{părți} - 1) \).
Metoda figurativă (sau metoda grafică) este o metodă aritmetică de rezolvare a problemelor prin care datele problemei sunt reprezentate cu ajutorul unor elemente grafice (cel mai des segmente de dreaptă, dar și puncte, cercuri sau alte simboluri).
Segmentul de referință (sau „o parte”) reprezintă, de regulă, mărimea cea mai mică din problemă, în raport cu care se definesc celelalte mărimi.
Anumite expresii din enunțul problemei ne indică operațiile matematice pe care le vom reprezenta grafic:
- Suma: „în total”, „împreună”, „la un loc”.
- Diferența: „cu ... mai mult/mai puțin”, „cu ... mai scump/mai ieftin”.
- Câtul: „de ... ori mai mult/mai puțin”, „dublul”, „triplul”, „jumătatea”, „treimea”.
După rezolvarea oricărei probleme prin metoda grafică, este obligatoriu să efectuăm proba pentru a verifica dacă soluțiile găsite respectă toate condițiile din enunț.
Reprezentăm mărimile prin segmente de dreaptă. Segmentul care reprezintă mărimea mai mare va avea în plus o porțiune egală cu diferența dată.
Eliminăm diferența din suma totală pentru a obține părți egale:
\[ \text{Suma părților egale} = \text{Suma totală} - \text{Diferența} \]
Împărțim rezultatul la numărul de părți egale (de obicei 2) pentru a afla mărimea mai mică (valoarea unui segment).
Aflăm mărimea mai mare adunând diferența la mărimea mai mică calculată anterior.
În gospodăria bunicilor sunt \( 57 \) de păsări în total (găini și rațe). Numărul găinilor este cu \( 17 \) mai mare decât cel al rațelor. Câte găini și câte rațe sunt?
Rezolvare:
Rezolvare:
- Suma fără diferență: \( 57 - 17 = 40 \) (reprezintă 2 părți egale)
- Numărul de rațe (partea mai mică): \( 40 : 2 = 20 \)
- Numărul de găini (partea mai mare): \( 20 + 17 = 37 \)
Reprezentăm mărimea mai mică printr-un singur segment (o parte). Mărimea mai mare o reprezentăm prin mai multe segmente identice, conform raportului (câtului) dintre ele.
Calculăm numărul total de părți egale adunând segmentele reprezentate grafic.
Împărțim suma totală la numărul total de părți pentru a afla valoarea unei părți (mărimea mai mică).
Aflăm mărimea mai mare înmulțind valoarea unei părți cu numărul de segmente ce îi corespund.
Vârsta lui Mihai este de \( 3 \) ori mai mică decât vârsta tatălui său. Împreună au \( 44 \) de ani. Câți ani are fiecare?
Rezolvare:
Rezolvare:
- Numărul total de părți egale: \( 1 \text{ (Mihai)} + 3 \text{ (tatăl)} = 4 \) părți
- Vârsta lui Mihai (o parte): \( 44 : 4 = 11 \) ani
- Vârsta tatălui: \( 11 \cdot 3 = 33 \) ani
Reprezentăm grafic mărimile: cea mai mică printr-un segment, iar cea mai mare prin numărul corespunzător de segmente egale. Evidențiem pe desen segmentele suplimentare (diferența).
Calculăm diferența de părți (segmente) dintre cele două mărimi.
Împărțim valoarea numerică a diferenței la numărul de segmente suplimentare determinat la pasul anterior pentru a afla valoarea unei părți.
Calculăm cele două mărimi pornind de la valoarea unei părți egale.
Doi melci au parcurs distanțe diferite. Primul a mers de \( 6 \) ori mai mult decât al doilea, ceea ce înseamnă cu \( 145 \) m mai mult. Ce distanță a parcurs fiecare?
Rezolvare:
Rezolvare:
- Diferența de părți: \( 6 - 1 = 5 \) părți egale
- Distanța parcursă de al doilea melc (o parte): \( 145 : 5 = 29 \text{ m} \)
- Distanța parcursă de primul melc: \( 29 \cdot 6 = 174 \text{ m} \)
În cazul problemelor de distribuție (așezarea unor obiecte/persoane în grupuri, bănci, cutii), reprezentarea se face cel mai ușor prin simboluri (de exemplu, cerculețe pentru obiecte și dreptunghiuri pentru grupuri).
Pentru a rezolva aceste probleme:
- Analizăm cele două stări sau distribuții descrise în text.
- Identificăm numărul de obiecte care trebuie redistribuite pentru a trece de la prima stare la cea de-a doua.
- Împărțim numărul de obiecte redistribuite la diferența de obiecte alocate fiecărui grup în cele două stări. Astfel aflăm numărul de grupuri.
Dacă elevii unei clase se așază câte \( 2 \) în bancă, rămân \( 5 \) elevi în picioare. Dacă se așază câte \( 3 \) în bancă, rămân \( 3 \) bănci libere și o bancă are doar \( 2 \) elevi. Câte bănci și câți elevi sunt?
Rezolvare:
Rezolvare:
- În a doua situație avem \( 3 \) bănci libere și o bancă cu doar \( 2 \) elevi (îi lipsește un elev ca să aibă \( 3 \)).
- Pentru a așeza elevii câte \( 3 \), eliberăm cele \( 3 \) bănci care erau ocupate în prima situație cu câte \( 2 \) elevi (adică eliberăm \( 3 \cdot 2 = 6 \) elevi).
- Adăugăm și cei \( 5 \) elevi care stăteau în picioare. Avem în total \( 6 + 5 = 11 \) elevi disponibili de redistribuit.
- Acești \( 11 \) elevi vor fi așezați câte unul în plus în băncile unde deja se aflau câte \( 2 \) elevi, transformându-le în bănci de câte \( 3 \). Obținem astfel \( 11 \) bănci cu câte \( 3 \) elevi.
- Numărul total de bănci din clasă este: \( 11 \text{ (bănci cu 3)} + 1 \text{ (banca cu 2)} + 3 \text{ (bănci libere)} = 15 \text{ bănci} \).
- Numărul de elevi: \( 11 \cdot 3 + 2 = 35 \text{ elevi} \).
Probleme practice
Problemă ușoară: Suma a două numere naturale este \( 120 \), iar diferența lor este \( 40 \). Determinați cele două numere folosind metoda figurativă.
Reprezentăm numerele prin segmente:
Numărul mic (\( a \)): |---|
Numărul mare (\( b \)): |---| + 40
Suma lor este \( 120 \).
1) Eliminăm diferența din sumă pentru a obține părți egale: \[ 120 - 40 = 80 \]
2) Aflăm numărul mic (\( a \)): \[ 80 : 2 = 40 \]
3) Aflăm numărul mare (\( b \)): \[ 40 + 40 = 80 \]
Răspuns: Numerele sunt \( 40 \) și \( 80 \).
Numărul mic (\( a \)): |---|
Numărul mare (\( b \)): |---| + 40
Suma lor este \( 120 \).
1) Eliminăm diferența din sumă pentru a obține părți egale: \[ 120 - 40 = 80 \]
2) Aflăm numărul mic (\( a \)): \[ 80 : 2 = 40 \]
3) Aflăm numărul mare (\( b \)): \[ 40 + 40 = 80 \]
Răspuns: Numerele sunt \( 40 \) și \( 80 \).
Problemă medie: Într-o pungă sunt bomboane cu ciocolată și bomboane cu fructe, în total \( 85 \) de bomboane. Știind că numărul bomboanelor cu ciocolată este de \( 4 \) ori mai mare decât al celor cu fructe, aflați câte bomboane de fiecare fel sunt în pungă.
Reprezentăm mărimile prin segmente:
Bomboane cu fructe (\( f \)): |---| (1 parte)
Bomboane cu ciocolată (\( c \)): |---|---|---|---| (4 părți egale)
Suma lor este \( 85 \).
1) Calculăm numărul total de părți egale: \[ 1 + 4 = 5 \text{ părți} \]
2) Aflăm numărul bomboanelor cu fructe (o parte): \[ 85 : 5 = 17 \text{ bomboane} \]
3) Aflăm numărul bomboanelor cu ciocolată: \[ 17 \cdot 4 = 68 \text{ bomboane} \]
Probă: \( 17 + 68 = 85 \) bomboane în total; \( 68 : 17 = 4 \) (de 4 ori mai multe).
Răspuns: \( 17 \) bomboane cu fructe și \( 68 \) bomboane cu ciocolată.
Bomboane cu fructe (\( f \)): |---| (1 parte)
Bomboane cu ciocolată (\( c \)): |---|---|---|---| (4 părți egale)
Suma lor este \( 85 \).
1) Calculăm numărul total de părți egale: \[ 1 + 4 = 5 \text{ părți} \]
2) Aflăm numărul bomboanelor cu fructe (o parte): \[ 85 : 5 = 17 \text{ bomboane} \]
3) Aflăm numărul bomboanelor cu ciocolată: \[ 17 \cdot 4 = 68 \text{ bomboane} \]
Probă: \( 17 + 68 = 85 \) bomboane în total; \( 68 : 17 = 4 \) (de 4 ori mai multe).
Răspuns: \( 17 \) bomboane cu fructe și \( 68 \) bomboane cu ciocolată.
Problemă dificilă: Dacă elevii unei clase se așază câte doi în bancă, rămân \( 6 \) elevi în picioare. Dacă se așază câte trei în bancă, rămân exact \( 4 \) bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt în acea clasă?
Analizăm cele două situații descrise:
1) În prima situație avem câte \( 2 \) elevi în fiecare bancă și \( 6 \) elevi în picioare.
2) În a doua situație avem câte \( 3 \) elevi în bancă și \( 4 \) bănci rămân complet libere.
3) Pentru a elibera cele \( 4 \) bănci ocupate în prima fază, trebuie să mutăm elevii care stăteau în ele: \[ 4 \text{ bănci} \cdot 2 \text{ elevi/bancă} = 8 \text{ elevi} \]
4) Numărul total de elevi pe care trebuie să îi redistribuim este format din elevii din băncile eliberate plus cei care stăteau în picioare: \[ 8 \text{ elevi} + 6 \text{ elevi} = 14 \text{ elevi de redistribuit} \]
5) Deoarece în a doua situație punem câte \( 3 \) elevi în bancă în loc de \( 2 \), înseamnă că adăugăm câte \( 1 \) singur elev în fiecare bancă ocupată.
Cei \( 14 \) elevi redistribuiți vor completa \( 14 \) bănci cu câte un elev suplimentar. Rezultă că avem \( 14 \) bănci ocupate cu câte \( 3 \) elevi.
6) Calculăm numărul total de bănci din clasă: \[ 14 \text{ (bănci ocupate)} + 4 \text{ (bănci libere)} = 18 \text{ bănci} \]
7) Calculăm numărul total de elevi (folosind prima situație): \[ 18 \text{ bănci} \cdot 2 \text{ elevi/bancă} + 6 \text{ elevi în picioare} = 42 \text{ elevi} \]
Probă: În a doua situație, dacă așezăm \( 42 \) de elevi câte \( 3 \) în bancă, ocupăm \( 42 : 3 = 14 \) bănci. Rămân libere \( 18 - 14 = 4 \) bănci (adevărat).
Răspuns: \( 18 \) bănci și \( 42 \) elevi.
1) În prima situație avem câte \( 2 \) elevi în fiecare bancă și \( 6 \) elevi în picioare.
2) În a doua situație avem câte \( 3 \) elevi în bancă și \( 4 \) bănci rămân complet libere.
3) Pentru a elibera cele \( 4 \) bănci ocupate în prima fază, trebuie să mutăm elevii care stăteau în ele: \[ 4 \text{ bănci} \cdot 2 \text{ elevi/bancă} = 8 \text{ elevi} \]
4) Numărul total de elevi pe care trebuie să îi redistribuim este format din elevii din băncile eliberate plus cei care stăteau în picioare: \[ 8 \text{ elevi} + 6 \text{ elevi} = 14 \text{ elevi de redistribuit} \]
5) Deoarece în a doua situație punem câte \( 3 \) elevi în bancă în loc de \( 2 \), înseamnă că adăugăm câte \( 1 \) singur elev în fiecare bancă ocupată.
Cei \( 14 \) elevi redistribuiți vor completa \( 14 \) bănci cu câte un elev suplimentar. Rezultă că avem \( 14 \) bănci ocupate cu câte \( 3 \) elevi.
6) Calculăm numărul total de bănci din clasă: \[ 14 \text{ (bănci ocupate)} + 4 \text{ (bănci libere)} = 18 \text{ bănci} \]
7) Calculăm numărul total de elevi (folosind prima situație): \[ 18 \text{ bănci} \cdot 2 \text{ elevi/bancă} + 6 \text{ elevi în picioare} = 42 \text{ elevi} \]
Probă: În a doua situație, dacă așezăm \( 42 \) de elevi câte \( 3 \) în bancă, ocupăm \( 42 : 3 = 14 \) bănci. Rămân libere \( 18 - 14 = 4 \) bănci (adevărat).
Răspuns: \( 18 \) bănci și \( 42 \) elevi.
