Copertă

VI.7. Transformarea Unei Fracții Zecimale Periodice În Fracție Ordinară

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

\( 1,6(2) = \frac{162 - 16}{90} = \frac{146}{90} = \frac{\cancel{146}^{73}}{\cancel{90}_{45}} = \frac{73}{45} \) \( 0,(36) = \frac{36}{99} = \frac{\cancel{36}^4}{\cancel{99}_{11}} = \frac{4}{11} \) \( 0,2(3) = \frac{23 - 2}{90} = \frac{21}{90} = \frac{\cancel{21}^7}{\cancel{90}_{30}} = \frac{7}{30} \) \( 1,2(3) = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} = \frac{\cancel{111}^{37}}{\cancel{90}_{30}} = \frac{37}{30} \) \( 1,20(6) = \frac{1206 - 120}{900} = \frac{1086}{900} = \frac{\cancel{1086}^{181}}{\cancel{900}_{150}} = \frac{181}{150} \) \( 1,5(72) = \frac{1572 - 15}{990} = \frac{1557}{990} = \frac{\cancel{1557}^{173}}{\cancel{990}_{110}} = \frac{173}{110} \) Asocierile sunt: \( 1,6(2) \rightarrow \frac{73}{45} \) \( 0,(36) \rightarrow \frac{4}{11} \) \( 0,2(3) \rightarrow \frac{7}{30} \) \( 1,2(3) \rightarrow \frac{37}{30} \) \( 1,20(6) \rightarrow \frac{181}{150} \) \( 1,5(72) \rightarrow \frac{173}{110} \)

Rezolvare detaliată

Pentru a rezolva această problemă, vom transforma fiecare fracție zecimală periodică din prima coloană într-o fracție ordinară, folosind regulile specifice pentru fracții periodice simple și mixte. Reguli de transformare: 1. Fracție periodică simplă: La numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă) din care scădem numărul format din cifrele aflate înaintea perioadei. La numitor punem atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada. 2. Fracție periodică mixtă: La numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă) din care scădem numărul format din cifrele aflate înaintea perioadei. La numitor punem atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada, urmate de atâtea cifre de \(0\) câte cifre are partea neperiodică.

Pasul 1: Transformarea fracției \(1,6(2)\)

Aceasta este o fracție periodică mixtă. \[ 1,6(2) = \frac{162 - 16}{90} = \frac{146}{90} \] Simplificăm prin \(2\): \[ \frac{146}{90} = \frac{\cancel{146}^{73}}{\cancel{90}_{45}} = \frac{73}{45} \] Deci, \(1,6(2)\) corespunde fracției \(\frac{73}{45}\).

Pasul 2: Transformarea fracției \(0,(36)\)

Aceasta este o fracție periodică simplă. \[ 0,(36) = \frac{36}{99} \] Simplificăm prin \(9\): \[ \frac{36}{99} = \frac{\cancel{36}^4}{\cancel{99}_{11}} = \frac{4}{11} \] Deci, \(0,(36)\) corespunde fracției \(\frac{4}{11}\).

Pasul 3: Transformarea fracției \(0,2(3)\)

Aceasta este o fracție periodică mixtă. \[ 0,2(3) = \frac{23 - 2}{90} = \frac{21}{90} \] Simplificăm prin \(3\): \[ \frac{21}{90} = \frac{\cancel{21}^7}{\cancel{90}_{30}} = \frac{7}{30} \] Deci, \(0,2(3)\) corespunde fracției \(\frac{7}{30}\).

Pasul 4: Transformarea fracției \(1,2(3)\)

Aceasta este o fracție periodică mixtă. \[ 1,2(3) = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} \] Simplificăm prin \(3\): \[ \frac{111}{90} = \frac{\cancel{111}^{37}}{\cancel{90}_{30}} = \frac{37}{30} \] Deci, \(1,2(3)\) corespunde fracției \(\frac{37}{30}\).

Pasul 5: Transformarea fracției \(1,20(6)\)

Aceasta este o fracție periodică mixtă. \[ 1,20(6) = \frac{1206 - 120}{900} = \frac{1086}{900} \] Simplificăm prin \(6\): \[ \frac{1086}{900} = \frac{\cancel{1086}^{181}}{\cancel{900}_{150}} = \frac{181}{150} \] Deci, \(1,20(6)\) corespunde fracției \(\frac{181}{150}\).

Pasul 6: Transformarea fracției \(1,5(72)\)

Aceasta este o fracție periodică mixtă. \[ 1,5(72) = \frac{1572 - 15}{990} = \frac{1557}{990} \] Simplificăm prin \(9\): \[ \frac{1557}{990} = \frac{\cancel{1557}^{173}}{\cancel{990}_{110}} = \frac{173}{110} \] Deci, \(1,5(72)\) corespunde fracției \(\frac{173}{110}\).

Pasul 7: Verificarea valorii rămase

Fracția \(\frac{173}{100}\) din coloana a doua este o fracție zecimală finită (\(1,73\)) și nu are corespondent în prima coloană.

Rezolvare pe scurt:

\( 1,6(2) = \frac{146}{90} = \frac{73}{45} \) \( 0,(36) = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} \) \( 0,2(3) = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \) \( 1,2(3) = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} \) \( 1,20(6) = \frac{1086}{900} = \frac{181}{150} \) \( 1,5(72) = \frac{1557}{990} = \frac{173}{110} \)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Reguli cheie de transformare în fracții ordinare:
  • Periodice simple: La numitor punem doar cifre de \(9\) (atâtea câte cifre sunt în perioadă).
    Exemplu rapid: \( 0,(7) = \frac{7}{9} \); \( 5,(12) = \frac{512 - 5}{99} = \frac{507}{99} \).
  • Periodice mixte: La numitor punem cifre de \(9\) (pentru perioadă) urmate de cifre de \(0\) (pentru partea neperiodică de după virgulă).
    Exemplu rapid: \( 0,2(5) = \frac{25 - 2}{90} = \frac{23}{90} \); \( 1,1(15) = \frac{1115 - 11}{990} = \frac{1104}{990} \).
O fracție zecimală periodică simplă are perioada situată imediat după virgulă (de exemplu: \(0,(3)\) sau \(2,(45)\)).
Pentru a transforma o fracție periodică simplă într-o fracție ordinară:
  • La numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă), din care scădem numărul format din cifrele aflate înaintea perioadei (partea întreagă).
  • La numitor scriem un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada.
\[ a,(b) = \frac{\overline{ab} - a}{9} \] \[ a,(bcd) = \frac{\overline{abcd} - a}{999} \]
Alternativ, putem izola partea întreagă:
  • Partea întreagă se scrie ca număr de întregi ai fracției.
  • La numărător se scrie perioada.
  • La numitor se scriu atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada.
  • Exemplul 1: \( 1,(4) = \frac{14 - 1}{9} = \frac{13}{9} \) sau \( 1,(4) = 1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9} \)
  • Exemplul 2: \( 2,(45) = \frac{245 - 2}{99} = \frac{243}{99} \). Simplificând prin \(9\), obținem \( \frac{27}{11} \).
  • Exemplul 3: \( 0,(3) = \frac{3}{9} \). Simplificând prin \(3\), obținem \( \frac{1}{3} \).
O fracție zecimală periodică mixtă are una sau mai multe cifre neperiodice între virgulă și perioadă (de exemplu: \(1,2(3)\) sau \(0,12(5)\)). Partea dintre virgulă și perioadă se numește parte neperiodică.
Pentru a transforma o fracție periodică mixtă într-o fracție ordinară:
  • La numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă), din care scădem numărul format din toate cifrele aflate înaintea perioadei.
  • La numitor scriem un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada, urmate de atâtea cifre de \(0\) câte cifre are partea neperiodică (de după virgulă).
\[ a,b(c) = \frac{\overline{abc} - \overline{ab}}{90} \] \[ a,bc(d) = \frac{\overline{abcd} - \overline{abc}}{900} \] \[ a,b(cd) = \frac{\overline{abcd} - \overline{ab}}{990} \]
Alternativ, folosind întregii:
  • Partea întreagă se scrie în fața fracției.
  • La numărător scriem numărul format din partea neperiodică urmată de perioadă, din care scădem partea neperiodică.
  • La numitor punem atâția de \(9\) câte cifre are perioada, urmați de atâția de \(0\) câte cifre are partea neperiodică de după virgulă.
  • Exemplul 1: \( 2,1(3) = \frac{213 - 21}{90} = \frac{192}{90} \). Simplificând prin \(6\), obținem \( \frac{32}{15} \).
  • Exemplul 2: \( 0,25(4) = \frac{254 - 25}{900} = \frac{229}{900} \).
  • Exemplul 3: \( 1,12(6) = 1\frac{126 - 12}{900} = 1\frac{114}{900} = 1\frac{19}{150} = \frac{169}{150} \) (după simplificare prin \(6\)).
Fracțiile ordinare obținute în urma transformării trebuie aduse, de fiecare dată când este posibil, la forma ireductibilă prin simplificare.

Exerciții practice

Exercițiul 1 (Ușor): Transformați în fracții ordinare ireductibile următoarele fracții zecimale periodice simple:
  1. \( 0,(6) \)
  2. | \( 1,(18) \)
  1. \( 0,(6) = \frac{6}{9} \). Simplificăm prin \(3\) și obținem: \( \frac{2}{3} \).
  2. \( 1,(18) = \frac{118 - 1}{99} = \frac{117}{99} \). Simplificăm prin \(9\) (deoarece suma cifrelor lui \(117\) este \(9\) și a lui \(99\) este \(18\)): \( \frac{13}{11} \).
Exercițiul 2 (Mediu): Transformați în fracții ordinare ireductibile următoarele fracții zecimale periodice mixte:
  1. \( 0,1(6) \)
  2. \( 3,1(2) \)
  1. \( 0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} \). Simplificăm prin \(15\) și obținem: \( \frac{1}{6} \).
  2. \( 3,1(2) = \frac{312 - 31}{90} = \frac{281}{90} \). Deoarece \(281\) este număr prim, fracția este deja ireductibilă.
Exercițiul 3 (Mediu): Calculați valoarea expresiei: \( E = 0,(3) + 0,1(6) - 0,25 \). Scrieți rezultatul sub formă de fracție ordinară ireductibilă.
Mai întâi transformăm fiecare fracție zecimală în fracție ordinară:
  • \( 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
  • \( 0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
  • \( 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)
Înlocuim în expresie și aducem la numitorul comun \(12\): \[ E = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4 + 2 - 3}{12} = \frac{3}{12} \] Simplificăm fracția \( \frac{3}{12} \) prin \(3\) și obținem: \[ E = \frac{1}{4} \]
Exercițiul 4 (Dificil): Determinați cifrele distincte \(a\), \(b\) și \(c\) știind că este îndeplinită egalitatea: \[ a,(bc) = \frac{27}{11} \]
Transformăm mai întâi membrul drept al egalității într-o fracție care să aibă numitorul format din cifre de \(9\), pentru a putea identifica perioada: \[ \frac{27}{11} = \frac{27 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{243}{99} \] Știm că transformarea fracției \( a,(bc) \) este: \[ a,(bc) = \frac{\overline{abc} - a}{99} \] Egalând cele două fracții, obținem: \[ \frac{\overline{abc} - a}{99} = \frac{243}{99} \implies \overline{abc} - a = 243 \] Scriem numărul \( \overline{abc} \) sub formă de descompunere în baza 10: \[ 100a + 10b + c - a = 243 \implies 99a + 10b + c = 243 \] Deoarece \( a \) este cifră semnificativă (prima cifră a numărului), analizăm valorile posibile pentru \( a \):
  • Dacă \( a \ge 3 \), atunci \( 99a \ge 297 \), ceea ce depășește \( 243 \). Deci \( a \) nu poate fi mai mare sau egal cu 3.
  • Dacă \( a = 1 \), atunci \( 99 \cdot 1 + 10b + c = 243 \implies 10b + c = 144 \). Deoarece \(b\) și \(c\) sunt cifre, valoarea maximă a expresiei \(10b+c\) este \(10 \cdot 9 + 9 = 99\), deci nu putem obține \(144\).
  • Dacă \( a = 2 \), atunci: \[ 99 \cdot 2 + 10b + c = 243 \implies 198 + \overline{bc} = 243 \implies \overline{bc} = 243 - 198 \implies \overline{bc} = 45 \]
De aici rezultă \( b = 4 \) și \( c = 5 \).
Cifrele sunt distincte: \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \).
Verificare: \( 2,(45) = \frac{245-2}{99} = \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \). (Adevărat)

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI

Решение на задачи от снимка

Иконка Литература

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe