Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli cheie de transformare în fracții ordinare:
- Periodice simple: La numitor punem doar cifre de \(9\) (atâtea câte cifre sunt în perioadă).
Exemplu rapid: \( 0,(7) = \frac{7}{9} \); \( 5,(12) = \frac{512 - 5}{99} = \frac{507}{99} \). - Periodice mixte: La numitor punem cifre de \(9\) (pentru perioadă) urmate de cifre de \(0\) (pentru partea neperiodică de după virgulă).
Exemplu rapid: \( 0,2(5) = \frac{25 - 2}{90} = \frac{23}{90} \); \( 1,1(15) = \frac{1115 - 11}{990} = \frac{1104}{990} \).
O fracție zecimală periodică simplă are perioada situată imediat după virgulă (de exemplu: \(0,(3)\) sau \(2,(45)\)).
Pentru a transforma o fracție periodică simplă într-o fracție ordinară:
- La numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă), din care scădem numărul format din cifrele aflate înaintea perioadei (partea întreagă).
- La numitor scriem un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada.
\[ a,(b) = \frac{\overline{ab} - a}{9} \]
\[ a,(bcd) = \frac{\overline{abcd} - a}{999} \]
Alternativ, putem izola partea întreagă:
- Partea întreagă se scrie ca număr de întregi ai fracției.
- La numărător se scrie perioada.
- La numitor se scriu atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada.
- Exemplul 1: \( 1,(4) = \frac{14 - 1}{9} = \frac{13}{9} \) sau \( 1,(4) = 1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9} \)
- Exemplul 2: \( 2,(45) = \frac{245 - 2}{99} = \frac{243}{99} \). Simplificând prin \(9\), obținem \( \frac{27}{11} \).
- Exemplul 3: \( 0,(3) = \frac{3}{9} \). Simplificând prin \(3\), obținem \( \frac{1}{3} \).
O fracție zecimală periodică mixtă are una sau mai multe cifre neperiodice între virgulă și perioadă (de exemplu: \(1,2(3)\) sau \(0,12(5)\)). Partea dintre virgulă și perioadă se numește parte neperiodică.
Pentru a transforma o fracție periodică mixtă într-o fracție ordinară:
- La numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă), din care scădem numărul format din toate cifrele aflate înaintea perioadei.
- La numitor scriem un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre are perioada, urmate de atâtea cifre de \(0\) câte cifre are partea neperiodică (de după virgulă).
\[ a,b(c) = \frac{\overline{abc} - \overline{ab}}{90} \]
\[ a,bc(d) = \frac{\overline{abcd} - \overline{abc}}{900} \]
\[ a,b(cd) = \frac{\overline{abcd} - \overline{ab}}{990} \]
Alternativ, folosind întregii:
- Partea întreagă se scrie în fața fracției.
- La numărător scriem numărul format din partea neperiodică urmată de perioadă, din care scădem partea neperiodică.
- La numitor punem atâția de \(9\) câte cifre are perioada, urmați de atâția de \(0\) câte cifre are partea neperiodică de după virgulă.
- Exemplul 1: \( 2,1(3) = \frac{213 - 21}{90} = \frac{192}{90} \). Simplificând prin \(6\), obținem \( \frac{32}{15} \).
- Exemplul 2: \( 0,25(4) = \frac{254 - 25}{900} = \frac{229}{900} \).
- Exemplul 3: \( 1,12(6) = 1\frac{126 - 12}{900} = 1\frac{114}{900} = 1\frac{19}{150} = \frac{169}{150} \) (după simplificare prin \(6\)).
Fracțiile ordinare obținute în urma transformării trebuie aduse, de fiecare dată când este posibil, la forma ireductibilă prin simplificare.
Exerciții practice
Exercițiul 1 (Ușor):
Transformați în fracții ordinare ireductibile următoarele fracții zecimale periodice simple:
- \( 0,(6) \)
- | \( 1,(18) \)
- \( 0,(6) = \frac{6}{9} \). Simplificăm prin \(3\) și obținem: \( \frac{2}{3} \).
- \( 1,(18) = \frac{118 - 1}{99} = \frac{117}{99} \). Simplificăm prin \(9\) (deoarece suma cifrelor lui \(117\) este \(9\) și a lui \(99\) este \(18\)): \( \frac{13}{11} \).
Exercițiul 2 (Mediu):
Transformați în fracții ordinare ireductibile următoarele fracții zecimale periodice mixte:
- \( 0,1(6) \)
- \( 3,1(2) \)
- \( 0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} \). Simplificăm prin \(15\) și obținem: \( \frac{1}{6} \).
- \( 3,1(2) = \frac{312 - 31}{90} = \frac{281}{90} \). Deoarece \(281\) este număr prim, fracția este deja ireductibilă.
Exercițiul 3 (Mediu):
Calculați valoarea expresiei: \( E = 0,(3) + 0,1(6) - 0,25 \). Scrieți rezultatul sub formă de fracție ordinară ireductibilă.
Mai întâi transformăm fiecare fracție zecimală în fracție ordinară:
- \( 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
- \( 0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
- \( 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)
Exercițiul 4 (Dificil):
Determinați cifrele distincte \(a\), \(b\) și \(c\) știind că este îndeplinită egalitatea:
\[ a,(bc) = \frac{27}{11} \]
Transformăm mai întâi membrul drept al egalității într-o fracție care să aibă numitorul format din cifre de \(9\), pentru a putea identifica perioada:
\[ \frac{27}{11} = \frac{27 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{243}{99} \]
Știm că transformarea fracției \( a,(bc) \) este:
\[ a,(bc) = \frac{\overline{abc} - a}{99} \]
Egalând cele două fracții, obținem:
\[ \frac{\overline{abc} - a}{99} = \frac{243}{99} \implies \overline{abc} - a = 243 \]
Scriem numărul \( \overline{abc} \) sub formă de descompunere în baza 10:
\[ 100a + 10b + c - a = 243 \implies 99a + 10b + c = 243 \]
Deoarece \( a \) este cifră semnificativă (prima cifră a numărului), analizăm valorile posibile pentru \( a \):
Cifrele sunt distincte: \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \).
Verificare: \( 2,(45) = \frac{245-2}{99} = \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \). (Adevărat)
- Dacă \( a \ge 3 \), atunci \( 99a \ge 297 \), ceea ce depășește \( 243 \). Deci \( a \) nu poate fi mai mare sau egal cu 3.
- Dacă \( a = 1 \), atunci \( 99 \cdot 1 + 10b + c = 243 \implies 10b + c = 144 \). Deoarece \(b\) și \(c\) sunt cifre, valoarea maximă a expresiei \(10b+c\) este \(10 \cdot 9 + 9 = 99\), deci nu putem obține \(144\).
- Dacă \( a = 2 \), atunci: \[ 99 \cdot 2 + 10b + c = 243 \implies 198 + \overline{bc} = 243 \implies \overline{bc} = 243 - 198 \implies \overline{bc} = 45 \]
Cifrele sunt distincte: \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \).
Verificare: \( 2,(45) = \frac{245-2}{99} = \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \). (Adevărat)
