V.7. Înmulțirea Fracțiilor. Puteri

Pentru a rezolva acest tip de problemă, vom efectua operațiile succesive cu fracții ordinare, simplificând rezultatele intermediare acolo unde este posibil pentru a ușura calculele.

a) \( \frac{1}{2} \xrightarrow{\cdot \frac{2}{3}} \bigcirc \xrightarrow{\cdot \frac{3}{4}} \bigcirc \xrightarrow{\cdot \frac{4}{5}} \bigcirc \xrightarrow{\cdot \frac{5}{6}} \bigcirc \dots \bigcirc \xrightarrow{\cdot \frac{99}{100}} \bigcirc \)

Pasul 1: Prima înmulțire

Înmulțim primele două fracții și simplificăm prin 2: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{3} = \frac{1}{3} \]

Pasul 2: A doua înmulțire

Înmulțim rezultatul anterior cu următoarea fracție și simplificăm prin 3: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{4} = \frac{1}{4} \]

Pasul 3: Observarea regulii

Observăm că la fiecare pas numărătorul fracției curente se simplifică cu numitorul fracției anterioare: \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{5} = \frac{1}{5} \] \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{6} = \frac{1}{6} \] Continuând acest proces până la ultima fracție, vom avea: \[ \frac{1}{99} \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{\cancel{99}_1} \cdot \frac{\cancel{99}^1}{100} = \frac{1}{100} \]

b) \( \frac{2}{5} \xrightarrow{+ \frac{1}{3}} \bigcirc \xrightarrow{\cdot \frac{5}{4}} \bigcirc \xrightarrow{- \frac{5}{6}} \bigcirc \xrightarrow{\cdot \frac{4}{3}} \bigcirc \xrightarrow{\cdot 3^2} \bigcirc \)

Pasul 1: Adunarea \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \)

Aducem la numitorul comun 15 (c.m.m.m.c. al numerelor 5 și 3): \[ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \overset{3)}{\frac{2}{5}} + \overset{5)}{\frac{1}{3}} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \]

Pasul 2: Înmulțirea \( \frac{11}{15} \cdot \frac{5}{4} \)

Simplificăm pe diagonală prin 5 (între 15 și 5): \[ \frac{11}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{11}{\cancel{15}_3} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{4} = \frac{11}{12} \]

Pasul 3: Scăderea \( \frac{11}{12} - \frac{5}{6} \)

Aducem la numitorul comun 12, amplificând a doua fracție cu 2: \[ \frac{11}{12} - \frac{5}{6} = \frac{11}{12} - \overset{2)}{\frac{5}{6}} = \frac{11}{12} - \frac{10}{12} = \frac{1}{12} \]

Pasul 4: Înmulțirea \( \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{3} \)

Simplificăm pe diagonală prin 4 (între 12 și 4): \[ \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{\cancel{12}_3} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{3} = \frac{1}{9} \]

Pasul 5: Înmulțirea finală \( \frac{1}{9} \cdot 3^2 \)

Calculăm mai întâi puterea \( 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \): \[ \frac{1}{9} \cdot 9 = \frac{1}{\cancel{9}_1} \cdot \cancel{9}^1 = 1 \]

a) \( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \); \( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \); \( \dots \); \( \frac{1}{99} \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100} \) Lanțul: \( \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{3} \rightarrow \frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{5} \rightarrow \dots \rightarrow \frac{1}{100} \) b) \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15} \) \( \frac{11}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{11}{3 \cdot 4} = \frac{11}{12} \) \( \frac{11}{12} - \frac{10}{12} = \frac{1}{12} \) \( \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} \) \( \frac{1}{9} \cdot 9 = 1 \) Lanțul: \( \frac{2}{5} \rightarrow \frac{11}{15} \rightarrow \frac{11}{12} \rightarrow \frac{1}{12} \rightarrow \frac{1}{9} \rightarrow 1 \)