Cele mai importante aspecte ale lecției
Drepte perpendiculare: Formează unghiuri de \( 90^\circ \) (\( a \perp b \)).
Drepte oblice: Se intersectează, dar nu sunt perpendiculare (formează unghiuri ascuțite și obtuze).
Unicitate: Dintr-un punct (fie pe dreaptă, fie exterior ei) se poate construi o singură perpendiculară pe acea dreaptă.
Paralelism: Dacă două drepte sunt ambele perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele între ele.
Drepte oblice: Se intersectează, dar nu sunt perpendiculare (formează unghiuri ascuțite și obtuze).
Unicitate: Dintr-un punct (fie pe dreaptă, fie exterior ei) se poate construi o singură perpendiculară pe acea dreaptă.
Paralelism: Dacă două drepte sunt ambele perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele între ele.
Două drepte concurente care formează un unghi cu măsura de \( 90^\circ \) (unghi drept) se numesc drepte perpendiculare.
Se notează \( a \perp b \) (dreapta \( a \) este perpendiculară pe dreapta \( b \)).
Două drepte perpendiculare formează la intersecția lor patru unghiuri drepte (de \( 90^\circ \)).
Două drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc drepte oblice.
Două drepte oblice formează la intersecția lor două unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze (congruente două câte două, fiind opuse la vârf).
Fie o dreaptă \( a \) și un punct \( M \). Punctul de intersecție dintre dreapta \( a \) și perpendiculara dusă prin \( M \) pe \( a \) se numește piciorul perpendicularei (notat de obicei cu \( O \)).
- Dacă \( M \) este exterior dreptei, spunem că coborâm o perpendiculară.
- Dacă \( M \) aparține dreptei, spunem că ridicăm o perpendiculară (în acest caz, \( M \) coincide cu piciorul perpendicularei).
Unicitatea perpendicularei: Perpendiculara dusă dintr-un punct pe o dreaptă este unică (indiferent dacă punctul aparține sau nu dreptei).
Dintr-un punct exterior unei drepte se poate construi o singură perpendiculară pe acea dreaptă, dar se pot construi oricâte drepte oblice.
Două drepte coplanare care sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.
Dacă \( a \perp d \) și \( b \perp d \) \( \implies a \parallel b \)
Exerciții
Ușoară: Se știe că dreptele \( AB \) și \( BC \) sunt perpendiculare în punctul \( B \). Ce fel de unghi este unghiul \( \sphericalangle ABC \)?
Prin definiție, două drepte perpendiculare formează unghiuri cu măsura de \( 90^\circ \).
Răspuns: Unghiul \( \sphericalangle ABC \) este un unghi drept.
Răspuns: Unghiul \( \sphericalangle ABC \) este un unghi drept.
Medie: Două unghiuri adiacente, \( \sphericalangle AOB \) și \( \sphericalangle BOC \), sunt unghiuri complementare. Care este relația de poziție dintre dreptele \( OA \) și \( OC \)?
Deoarece unghiurile sunt adiacente, măsura unghiului format de laturile necomune (\( \sphericalangle AOC \)) este suma măsurilor lor.
Deoarece sunt complementare, suma măsurilor lor este \( 90^\circ \).
Prin urmare, \( \sphericalangle AOC = 90^\circ \). Două drepte care formează un unghi de \( 90^\circ \) sunt perpendiculare.
Răspuns: Dreptele sunt perpendiculare, adică \( OA \perp OC \).
Deoarece sunt complementare, suma măsurilor lor este \( 90^\circ \).
Prin urmare, \( \sphericalangle AOC = 90^\circ \). Două drepte care formează un unghi de \( 90^\circ \) sunt perpendiculare.
Răspuns: Dreptele sunt perpendiculare, adică \( OA \perp OC \).
Dificilă: Punctele \( A, O, B \) sunt coliniare în această ordine. De aceeași parte a dreptei \( AB \) se construiesc semidreptele \( OC \) și \( OD \), astfel încât \( OC \perp OD \). Semidreapta \( OC \) este situată în interiorul unghiului \( \sphericalangle AOD \). Calculați suma măsurilor unghiurilor \( \sphericalangle AOC \) și \( \sphericalangle BOD \).
Deoarece punctele \( A, O, B \) sunt coliniare, unghiul \( \sphericalangle AOB \) este un unghi alungit, deci măsura sa este \( 180^\circ \).
Dreptele \( OC \) și \( OD \) sunt perpendiculare (\( OC \perp OD \)), ceea ce înseamnă că unghiul \( \sphericalangle COD \) are măsura de \( 90^\circ \).
Unghiul alungit este format din suma celor trei unghiuri adiacente:
\[ \sphericalangle AOC + \sphericalangle COD + \sphericalangle BOD = \sphericalangle AOB \]
\[ \sphericalangle AOC + 90^\circ + \sphericalangle BOD = 180^\circ \]
Scădem \( 90^\circ \) din total pentru a afla suma celorlalte două unghiuri:
\[ \sphericalangle AOC + \sphericalangle BOD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Răspuns: Suma măsurilor celor două unghiuri este \( 90^\circ \).
