I.2. Relații Între Mulțimi

Pasul 1: Analiza subpunctelor a) și b)

a) Comparăm mulțimea \( \{1, 2\} \) cu \( \{0, 1, 2, 3\} \). Deoarece toate elementele primei mulțimi (\( 1 \) și \( 2 \)) se regăsesc în a doua mulțime, folosim simbolul de incluziune: \( \{1, 2\} \subset \{0, 1, 2, 3\} \). b) Comparăm elementul \( 2 \) cu mulțimea \( \{0, 1, 2, 3\} \). Deoarece \( 2 \) este un obiect care face parte din mulțime, folosim simbolul de apartenență: \( 2 \in \{0, 1, 2, 3\} \).

Pasul 2: Analiza subpunctelor c), d) și e)

c) Comparăm \( \{1, 2, 4\} \) cu \( \{1, 2, 3\} \). Elementul \( 4 \) nu se află în a doua mulțime, iar \( 3 \) nu se află în prima. Mulțimile nu sunt egale și nu se includ: \( \{1, 2, 4\} \neq \{1, 2, 3\} \). d) Comparăm \( \{0, 1, 2\} \) cu \( \{1, 2\} \). A doua mulțime este inclusă în prima, deci prima o include pe a doua: \( \{0, 1, 2\} \supset \{1, 2\} \). e) Comparăm \( \{1, 2\} \) cu \( \{1\} \). Prima mulțime conține toate elementele celei de-a doua, deci o include: \( \{1, 2\} \supset \{1\} \).

Pasul 3: Analiza subpunctelor f) și g)

f) Mulțimea \( \{0\} \) conține elementul zero, în timp ce \( \emptyset \) nu are niciun element. Cele două sunt diferite: \( \{0\} \neq \emptyset \). De asemenea, am putea scrie \( \{0\} \supset \emptyset \). g) Mulțimile \( \{x, y, z, t\} \) și \( \{t, x, y, z\} \) au exact aceleași elemente, ordinea nefiind importantă: \( \{x, y, z, t\} = \{t, x, y, z\} \).

Pasul 4: Analiza subpunctelor h) și i)

h) Mulțimea numerelor prime este \( \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\} \). Elementul \( 1 \) nu este prim. Deci, \( \{1, 2\} \) nu este inclusă în mulțimea numerelor prime: \( \{1, 2\} \neq \{n \mid n \text{ prim}\} \). i) Elementele \( 2 \) și \( 3 \) sunt ambele numere prime. Prin urmare, mulțimea formată din ele este inclusă în mulțimea numerelor prime: \( \{2, 3\} \subset \{n \mid n \text{ prim}\} \).

Pasul 5: Analiza subpunctelor j), k) și l)

j) Puterile lui \( 2 \) sunt \( \{2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots\} = \{1, 2, 4, 8, \dots\} \). Deoarece \( 8 = 2^3 \), acesta aparține mulțimii: \( 8 \in \{n \mid n = 2^k\} \). k) Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: \( \emptyset \subset \{1\} \). l) Elementul \( 1 \) se regăsește în mulțimea \( \{0, 1, 2, 3\} \), deci mulțimea formată din el este inclusă: \( \{1\} \subset \{0, 1, 2, 3\} \).

a) \( \subset \); b) \( \in \); c) \( \neq \); d) \( \supset \); e) \( \supset \); f) \( \neq \); g) \( = \); h) \( \neq \); i) \( \subset \); j) \( \in \); k) \( \subset \); l) \( \subset \).