Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\(r_1 = 1\text{ cm}, r_2 = 5\text{ cm}, OQ = 3\text{ cm}\)
\(|r_1 - r_2| = |1 - 5| = 4\text{ cm}\)
\(OQ = 3\text{ cm} < 4\text{ cm} \implies d < |r_1 - r_2|\)
Cercurile sunt interioare.
b)
\(r_1 = 4\text{ cm}, r_2 = 6\text{ cm}, OQ = 3\text{ cm}\)
\(|r_1 - r_2| = |4 - 6| = 2\text{ cm}\)
\(r_1 + r_2 = 4 + 6 = 10\text{ cm}\)
\(2\text{ cm} < 3\text{ cm} < 10\text{ cm} \implies |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\)
Cercurile sunt secante.
c)
\(r_1 = 1\text{ cm}, r_2 = 1\text{ cm}, OQ = 3\text{ cm}\)
\(r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2\text{ cm}\)
\(OQ = 3\text{ cm} > 2\text{ cm} \implies d > r_1 + r_2\)
Cercurile sunt exterioare.
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Analiza metodei de determinare a poziției relative
Pentru a stabili poziția relativă a două cercuri \(\mathcal{C}_1(O, r_1)\) și \(\mathcal{C}_2(Q, r_2)\), vom compara distanța dintre centrele lor, \(d = OQ = 3\text{ cm}\), cu suma razelor (\(r_1 + r_2\)) și cu diferența razelor în valoare absolută (\(|r_1 - r_2|\)).Pasul 2: Rezolvarea subpunctului a)
Date: \(r_1 = 1\text{ cm}\), \(r_2 = 5\text{ cm}\) și \(d = 3\text{ cm}\). Calculăm diferența razelor: \(|r_1 - r_2| = |1 - 5| = 4\text{ cm}\). Comparăm distanța cu diferența: deoarece \(d = 3 < 4\), adică \(d < |r_1 - r_2|\), și \(d \neq 0\), rezultă că cercurile sunt interioare (unul se află în interiorul celuilalt fără să se atingă).Trasează un segment OQ de 3 cm. Construiește cercul cu centrul în O și raza de 1 cm și cercul cu centrul în Q și raza de 5 cm. Cercul mic va fi complet în interiorul celui mare.
Pasul 3: Rezolvarea subpunctului b)
Date: \(r_1 = 4\text{ cm}\), \(r_2 = 6\text{ cm}\) și \(d = 3\text{ cm}\). Calculăm: Suma razelor: \(r_1 + r_2 = 4 + 6 = 10\text{ cm}\). Diferența razelor: \(|r_1 - r_2| = |4 - 6| = 2\text{ cm}\). Observăm că \(2 < 3 < 10\), ceea ce înseamnă că \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\). În această situație, cercurile sunt secante (se intersectează în două puncte distincte).Trasează segmentul OQ de 3 cm. Construiește cercul cu centrul în O și raza de 4 cm și cercul cu centrul în Q și raza de 6 cm. Cele două cercuri se vor tăia în două puncte.
Pasul 4: Rezolvarea subpunctului c)
Date: \(r_1 = 1\text{ cm}\), \(r_2 = 1\text{ cm}\) și \(d = 3\text{ cm}\). Calculăm suma razelor: \(r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2\text{ cm}\). Comparăm distanța cu suma: deoarece \(d = 3 > 2\), adică \(d > r_1 + r_2\), rezultă că cercurile sunt exterioare (nu au niciun punct comun și niciunul nu este în interiorul celuilalt).Trasează segmentul OQ de 3 cm. Construiește două cercuri mici, fiecare cu raza de 1 cm, în punctele O și Q. Între ele va rămâne un spațiu liber de 1 cm.
Rezolvare scurtă:
a) \(d=3, r_1=1, r_2=5 \implies |1-5|=4 \implies 3<4 \implies d<|r_1-r_2| \implies\) interioare.
b) \(d=3, r_1=4, r_2=6 \implies |4-6|=2, 4+6=10 \implies 2<3<10 \implies\) secante.
c) \(d=3, r_1=1, r_2=1 \implies 1+1=2 \implies 3>2 \implies d>r_1+r_2 \implies\) exterioare.
