Cele mai importante aspecte ale lecției
Reprezentarea mulțimilor: Intervalele grupează o porțiune de pe axa numerelor reale. Parantezele rotunde () exclud capătul (inegalități stricte: \( <, > \)), iar cele pătrate [] includ capătul (\( \leq, \geq \)). Infinitul are întotdeauna paranteză rotundă.
Operații: Reuniunea combină toate elementele a două intervale, în timp ce intersecția identifică doar elementele comune ambelor.
Rezolvarea inecuațiilor: Se aplică reguli similare cu cele de la ecuații. Elementul vital este că, dacă înmulțiți sau împărțiți cu un număr negativ, sensul inegalității trebuie inversat. Soluția se raportează final sub formă de interval.
Operații: Reuniunea combină toate elementele a două intervale, în timp ce intersecția identifică doar elementele comune ambelor.
Rezolvarea inecuațiilor: Se aplică reguli similare cu cele de la ecuații. Elementul vital este că, dacă înmulțiți sau împărțiți cu un număr negativ, sensul inegalității trebuie inversat. Soluția se raportează final sub formă de interval.
Axa numerelor este o dreaptă pe care s-au fixat o origine (punctul \( O \)), un sens pozitiv și o unitate de măsură.
Oricărui număr real \( x \) îi corespunde un unic punct \( P \) pe axa numerelor, notat \( P(x) \). Din acest motiv, axa numerelor reprezintă geometric mulțimea numerelor reale (\( \mathbb{R} \)).
Mulțimea numerelor reale cuprinse între două numere reale date \( a \) și \( b \) (cu \( a < b \)) se numește interval mărginit. Cele două numere sunt capetele intervalului.
| Notație | Tip interval | Semnificație (Mulțimea valorilor lui \( x \)) |
|---|---|---|
| \( (a, b) \) | Deschis în ambele capete | \( a < x < b \) (nu conține capetele) |
| \( [a, b] \) | Închis în ambele capete | \( a \leq x \leq b \) (conține ambele capete) |
| \( (a, b] \) | Deschis la stânga, închis la dreapta | \( a < x \leq b \) |
| \( [a, b) \) | Închis la stânga, deschis la dreapta | \( a \leq x < b \) |
Când capetele sunt egale, avem cazuri speciale: \( [a, a] = \{a\} \). Intervelele \( (a, a) \), \( [a, a) \) și \( (a, a] \) reprezintă mulțimea vidă (\( \varnothing \)).
Axa reală este nemărginită, motiv pentru care se folosesc simbolurile \( -\infty \) (minus infinit) și \( +\infty \) (plus infinit). Când cel puțin un capăt este infinit, intervalul este nemărginit.
La capetele cu infinit, se folosesc întotdeauna paranteze rotunde (interval deschis).
| Notație | Tip interval | Semnificație (Mulțimea valorilor lui \( x \)) |
|---|---|---|
| \( (a; +\infty) \) | Deschis, nemărginit la dreapta | \( x > a \) |
| \( [a; +\infty) \) | Închis, nemărginit la dreapta | \( x \geq a \) |
| \( (-\infty; a) \) | Deschis, nemărginit la stânga | \( x < a \) |
| \( (-\infty; a] \) | Închis, nemărginit la stânga | \( x \leq a \) |
| \( (-\infty; +\infty) \) | Interval nemărginit în ambele capete | Reprezintă întreaga mulțime \( \mathbb{R} \) |
Deoarece intervalele sunt mulțimi, putem efectua operații matematice pe ele:
- Reuniunea (\( I \cup J \)): Conține elementele care aparțin fie intervalului \( I \), fie intervalului \( J \), fie amândurora.
- Intersecția (\( I \cap J \)): Conține doar elementele comune care aparțin simultan atât lui \( I \), cât și lui \( J \).
Legătura dintre intervale și modulul unui număr (pentru \( a > 0 \)):
\( |x| < a \iff -a < x < a \iff x \in (-a; a) \)
\( |x| \leq a \iff -a \leq x \leq a \iff x \in [-a; a] \)
\( |x| < a \iff -a < x < a \iff x \in (-a; a) \)
\( |x| \leq a \iff -a \leq x \leq a \iff x \in [-a; a] \)
O inecuație de gradul întâi are forma \( ax + b \geq 0 \) (sau \( \leq, <, > \)). A o rezolva înseamnă a determina toate valorile lui \( x \) pentru care inegalitatea este adevărată, obținând, de regulă, un interval.
Reguli pentru rezolvarea inecuațiilor (oricare ar fi \( a, b, c \in \mathbb{R} \)):
- Se poate aduna sau scădea același număr în ambii membri: \( a \leq b \iff a + c \leq b + c \).
- Se pot muta termeni dintr-o parte în alta schimbându-le semnul: \( a + b \leq c \iff a \leq c - b \).
- Înmulțirea sau împărțirea cu un număr pozitiv (\( c > 0 \)) păstrează sensul inegalității: \( a \leq b \iff a \cdot c \leq b \cdot c \).
Când înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ (\( c < 0 \)), sensul inegalității se schimbă: \( a \leq b \iff a \cdot c \geq b \cdot c \).
Rezolvarea inecuației \( -3x + 6 \leq 0 \):
1. Mutăm termenul liber: \( -3x \leq -6 \)
2. Împărțim la \( -3 \) (număr negativ, deci schimbăm sensul din \( \leq \) în \( \geq \)): \( x \geq 2 \)
3. Scriem soluția ca interval: \( x \in [2; +\infty) \).
1. Mutăm termenul liber: \( -3x \leq -6 \)
2. Împărțim la \( -3 \) (număr negativ, deci schimbăm sensul din \( \leq \) în \( \geq \)): \( x \geq 2 \)
3. Scriem soluția ca interval: \( x \in [2; +\infty) \).
Probleme practice
Ușoară: Scrieți sub formă de interval mulțimea \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid -5 \leq x < 2\} \).
Semnul „\( \leq \)” indică faptul că \( -5 \) aparține mulțimii, deci folosim paranteză pătrată. Semnul „\( < \)” indică faptul că \( 2 \) nu aparține mulțimii, deci folosim paranteză rotundă.
Răspuns: \( A = [-5; 2) \).
Răspuns: \( A = [-5; 2) \).
Medie: Determinați intervalul rezultat în urma intersecției: \( (-3; 4] \cap [1; 6) \).
Intersecția presupune găsirea porțiunii comune a celor două intervale pe axa numerelor.
Marginea inferioară a zonei comune este cel mai mare număr dintre limitele inferioare: \( \max(-3, 1) = 1 \) (intervalul conține 1, deci paranteză pătrată).
Marginea superioară a zonei comune este cel mai mic număr dintre limitele superioare: \( \min(4, 6) = 4 \) (intervalul conține 4, deci paranteză pătrată).
Răspuns: \( [1; 4] \).
Marginea inferioară a zonei comune este cel mai mare număr dintre limitele inferioare: \( \max(-3, 1) = 1 \) (intervalul conține 1, deci paranteză pătrată).
Marginea superioară a zonei comune este cel mai mic număr dintre limitele superioare: \( \min(4, 6) = 4 \) (intervalul conține 4, deci paranteză pătrată).
Răspuns: \( [1; 4] \).
Dificilă: Aflați numerele naturale care sunt soluții ale inecuației \( 4x - 5 < 7 \).
1. Mutăm pe \( -5 \) cu semn schimbat: \( 4x < 7 + 5 \)
2. Calculăm: \( 4x < 12 \)
3. Împărțim la \( 4 \) (număr pozitiv, deci sensul se păstrează): \( x < 3 \).
Așadar, sub formă de interval avem \( x \in (-\infty; 3) \).
Problema cere numerele naturale din acest interval, adică \( x \in \mathbb{N} \cap (-\infty; 3) \).
Numerele naturale strict mai mici decât 3 sunt \( 0, 1 \) și \( 2 \).
Răspuns: Mulțimea soluțiilor este \( \{0, 1, 2\} \).
2. Calculăm: \( 4x < 12 \)
3. Împărțim la \( 4 \) (număr pozitiv, deci sensul se păstrează): \( x < 3 \).
Așadar, sub formă de interval avem \( x \in (-\infty; 3) \).
Problema cere numerele naturale din acest interval, adică \( x \in \mathbb{N} \cap (-\infty; 3) \).
Numerele naturale strict mai mici decât 3 sunt \( 0, 1 \) și \( 2 \).
Răspuns: Mulțimea soluțiilor este \( \{0, 1, 2\} \).
