II.11. Testul 2

Pentru a rezolva aceste exerciții, vom folosi regulile de calcul cu monoame și polinoame, respectând ordinea operațiilor și proprietățile puterilor.

a) Calculul expresiei \( (8ab^3c^2) : (4abc) \)

Pasul 1: Împărțirea coeficienților și a părților literale

Vom împărți coeficientul \( 8 \) la \( 4 \) și fiecare variabilă la corespondentul său, scăzând exponenții conform regulii \( x^m : x^n = x^{m-n} \): \[ (8 : 4) \cdot (a : a) \cdot (b^3 : b) \cdot (c^2 : c) \]

Pasul 2: Finalizarea calculelor

Știm că \( a : a = 1 \). Calculăm restul puterilor: \[ 2 \cdot 1 \cdot b^{3-1} \cdot c^{2-1} = 2b^2c \]

b) Calculul expresiei \( (1,5x^3y^2z)^3 \)

Pasul 1: Aplicarea puterii fiecărui factor

Vom ridica la puterea a treia atât coeficientul, cât și fiecare variabilă în parte, folosind regula \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \): \[ (1,5)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^2)^3 \cdot z^3 \]

Pasul 2: Efectuarea ridicării la putere

Calculăm \( 1,5^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375 \): \[ 3,375 \cdot x^{3 \cdot 3} \cdot y^{2 \cdot 3} \cdot z^3 = 3,375x^9y^6z^3 \]

c) Calculul expresiei \( 2x(3x - 2y) \)

Pasul 1: Aplicarea distributivității

Vom înmulți monomul din afara parantezei cu fiecare termen din interiorul parantezei: \[ (2x \cdot 3x) + (2x \cdot (-2y)) \]

Pasul 2: Efectuarea înmulțirilor

\[ 6x^{1+1} - 4xy = 6x^2 - 4xy \]

d) Calculul expresiei \( (x^2 + 2xy + 4y^2)(2x - 3y) \)

Pasul 1: Înmulțirea fiecărui termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua

Vom distribui termenii astfel: \[ x^2(2x - 3y) + 2xy(2x - 3y) + 4y^2(2x - 3y) \] \[ = 2x^3 - 3x^2y + 4x^2y - 6xy^2 + 8xy^2 - 12y^3 \]

Pasul 2: Reducerea termenilor asemenea

Grupăm și calculăm termenii care au aceeași parte literală: \[ 2x^3 + (-3x^2y + 4x^2y) + (-6xy^2 + 8xy^2) - 12y^3 \] \[ = 2x^3 + x^2y + 2xy^2 - 12y^3 \]

a)

\( 8ab^3c^2 : 4abc = 2b^2c \)

b)

\( (1,5x^3y^2z)^3 = 3,375x^9y^6z^3 \)

c)

\( 2x(3x - 2y) = 6x^2 - 4xy \)

d)

\( (x^2 + 2xy + 4y^2)(2x - 3y) = 2x^3 - 3x^2y + 4x^2y - 6xy^2 + 8xy^2 - 12y^3 = 2x^3 + x^2y + 2xy^2 - 12y^3 \)