Cele mai importante aspecte ale lecției
Adunarea și Scăderea: Necesită numitor comun. Dacă numitorii sunt diferiți, se aduce la același numitor prin amplificare, descompunând mai întâi în factori.
Înmulțirea: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\). Regula de aur: descompuneți în factori și simplificați înainte de a înmulți!
Împărțirea: Se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua: \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\).
Ordinea operațiilor: Paranteze \(\rightarrow\) Puteri \(\rightarrow\) Înmulțiri/Împărțiri \(\rightarrow\) Adunări/Scăderi.
Înmulțirea: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\). Regula de aur: descompuneți în factori și simplificați înainte de a înmulți!
Împărțirea: Se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua: \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\).
Ordinea operațiilor: Paranteze \(\rightarrow\) Puteri \(\rightarrow\) Înmulțiri/Împărțiri \(\rightarrow\) Adunări/Scăderi.
Pentru a aduna sau a scădea fracții algebrice, acestea trebuie să aibă același numitor. Procesul este similar cu cel de la fracțiile ordinare.
1. Fracții cu același numitor: Se copiază numitorul și se adună/scad numărătorii.
\[ \frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}, \quad C \neq 0 \]
2. Fracții cu numitori diferiți: Se aduc mai întâi la un numitor comun prin amplificare, apoi se aplică regula de mai sus.
\[ \overset{D)}{\frac{A}{C}} \pm \overset{C)}{\frac{B}{D}} = \frac{A \cdot D \pm B \cdot C}{C \cdot D}, \quad C \neq 0, D \neq 0 \]
Pentru a găsi cel mai simplu numitor comun, descompuneți numitorii în factori înainte de a amplifica!
Calculați: \( \frac{3x}{x+2} - \frac{x-4}{x+2} \)
Deoarece numitorii sunt identici, scădem numărătorii (atenție la schimbarea semnului din cauza minusului în fața fracției): \[ \frac{3x - (x-4)}{x+2} = \frac{3x - x + 4}{x+2} = \frac{2x+4}{x+2} \] Putem factoriza numărătorul și simplifica: \[ \frac{2(x+2)}{x+2} = 2 \]
Deoarece numitorii sunt identici, scădem numărătorii (atenție la schimbarea semnului din cauza minusului în fața fracției): \[ \frac{3x - (x-4)}{x+2} = \frac{3x - x + 4}{x+2} = \frac{2x+4}{x+2} \] Putem factoriza numărătorul și simplifica: \[ \frac{2(x+2)}{x+2} = 2 \]
Efectuați calculul: \( \frac{2}{x} + \frac{x-1}{x^2} \)
Numitorul comun este \(x^2\). Amplificăm prima fracție cu \(x\):
\[ \overset{x)}{\frac{2}{x}} + \frac{x-1}{x^2} = \frac{2x}{x^2} + \frac{x-1}{x^2} = \frac{2x + x - 1}{x^2} = \frac{3x-1}{x^2} \]
Înmulțirea se realizează înmulțind numărătorii între ei și numitorii între ei.
\[ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}, \quad B \neq 0, D \neq 0 \]
Înainte de a efectua înmulțirile propriu-zise, este esențial să descompuneți în factori numărătorii și numitorii pentru a putea simplifica expresiile. Astfel, calculele devin mult mai ușoare.
\[ \frac{x^2}{x-3} \cdot \frac{x^2-9}{x^3} = \frac{x^2}{x-3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x^2 \cdot x} \]
Simplificăm \(x^2\) și \((x-3)\) la numărător și numitor:
\[ = \frac{1}{1} \cdot \frac{x+3}{x} = \frac{x+3}{x} \]
Efectuați înmulțirea: \( \frac{x+1}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x^2-1} \)
Descompunem \(x^2-1\) în \((x-1)(x+1)\):
\[ \frac{x+1}{2x} \cdot \frac{4x^2}{(x-1)(x+1)} \]
Simplificăm \( (x+1) \) cu \( (x+1) \), și \( 4x^2 \) cu \( 2x \) obținând \( 2x \) la numărător:
\[ = \frac{2x}{x-1} \]
Inversa unei fracții \( \frac{C}{D} \) este fracția obținută prin inversarea numărătorului cu numitorul: \( \frac{D}{C} \).
Împărțirea se efectuează înmulțind prima fracție cu inversa celei de-a doua.
\[ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}, \quad B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0 \]
\[ \frac{3x}{x+1} : \frac{6x^2}{x^2-1} = \frac{3x}{x+1} \cdot \frac{x^2-1}{6x^2} \]
Descompunem și simplificăm:
\[ \frac{3x}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{3x \cdot 2x} = \frac{x-1}{2x} \]
Calculați: \( \frac{x-2}{x} : \frac{x^2-4}{x^2} \)
Înmulțim cu inversa fracției a doua:
\[ \frac{x-2}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{x-2}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{(x-2)(x+2)} \]
Simplificând \((x-2)\) și \(x\), obținem:
\[ = \frac{x}{x+2} \]
Ridicarea la putere a unei fracții presupune ridicarea atât a numărătorului cât și a numitorului la acea putere:
\[ \left( \frac{A}{B} \right)^n = \frac{A^n}{B^n}, \quad B \neq 0 \]
Observație: O putere negativă inversează fracția: \( \left(\frac{A}{B}\right)^{-1} = \frac{B}{A} \).
Ordinea efectuării operațiilor respectă regulile de la numere reale:
- Operațiile din paranteze (întâi cele rotunde, apoi cele pătrate, apoi acoladele).
- Ridicarea la putere.
- Înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care sunt scrise).
- Adunările și scăderile (în ordinea în care sunt scrise).
Calculați: \( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \cdot \frac{8}{x^3} \)
Efectuăm mai întâi ridicarea la putere:
\[ \frac{x^2}{4} \cdot \frac{8}{x^3} \]
Simplificăm \(8\) cu \(4\) (rămâne \(2\) la numărător) și \(x^3\) cu \(x^2\) (rămâne \(x\) la numitor):
\[ = \frac{2}{x} \]
Exerciții
Ușoară: Efectuați scăderea și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă:
\[ \frac{4x+5}{2x-1} - \frac{2x+6}{2x-1} \]
Deoarece numitorii sunt la fel, scădem numărătorii având grijă la paranteze:
\[ \frac{(4x+5) - (2x+6)}{2x-1} = \frac{4x+5-2x-6}{2x-1} = \frac{2x-1}{2x-1} \]
Simplificând, rezultatul este \( 1 \).
Medie: Aduceți la forma cea mai simplă expresia:
\[ \frac{1}{x-3} + \frac{6}{x^2-9} \]
Descompunem numitorul celei de-a doua fracții folosind formula diferenței de pătrate: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\).
Numitorul comun este \((x-3)(x+3)\). Amplificăm prima fracție cu \((x+3)\): \[ \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3+6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+9}{x^2-9} \]
Numitorul comun este \((x-3)(x+3)\). Amplificăm prima fracție cu \((x+3)\): \[ \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3+6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+9}{x^2-9} \]
Medie: Efectuați calculele:
\[ \frac{x^2+2x}{x-4} : \frac{x^2-4}{x^2-4x} \]
Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversa celei de-a doua fracții:
\[ \frac{x^2+2x}{x-4} \cdot \frac{x^2-4x}{x^2-4} \]
Descompunem toți termenii:
\[ \frac{x(x+2)}{x-4} \cdot \frac{x(x-4)}{(x-2)(x+2)} \]
Simplificăm \((x+2)\) și \((x-4)\):
\[ = \frac{x \cdot x}{x-2} = \frac{x^2}{x-2} \]
Dificilă: Demonstrați că următoarea expresie este egală cu \(1\), independent de valoarea lui \(x\) (pentru care expresia este definită):
\[ E(x) = \left( 1 - \frac{2}{x+1} \right) : \frac{x-1}{x+1} \]
Respectăm ordinea operațiilor, rezolvând mai întâi paranteza. Amplificăm pe \(1\) cu \(x+1\):
\[ 1 - \frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{2}{x+1} = \frac{x+1-2}{x+1} = \frac{x-1}{x+1} \]
Înlocuim rezultatul în expresia inițială:
\[ E(x) = \frac{x-1}{x+1} : \frac{x-1}{x+1} \]
Transformăm împărțirea în înmulțire:
\[ E(x) = \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-1} = 1 \]
(Totul se simplifică).
