Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte și reguli esențiale de calcul:
- Calcul prescurtat: Trecerea rapidă de la formă factorizată la sumă. Ex: \( (x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2 \) și \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \).
- Descompunere: Transformarea sumelor în produse folosind factor comun sau formule. Este un pas obligatoriu înainte de a simplifica fracții!
- Fracții algebrice: Numitorul trebuie să fie strict diferit de zero (\( Q(x) \neq 0 \)). Se pot simplifica doar factorii comuni, niciodată termenii individuali ai unei sume.
- Ecuația \( ax^2+bx+c=0 \): Numărul soluțiilor este dictat de \( \Delta = b^2-4ac \). Dacă \( \Delta \ge 0 \), se folosește \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \).
Un termen algebric este format dintr-un coeficient (număr real) și o parte literală (litere la diverse puteri). Termenii care au exact aceeași parte literală se numesc termeni asemenea.
Adunarea și scăderea: Se pot efectua doar între termeni asemenea, adunând/scăzând coeficienții și păstrând partea literală.
Înmulțirea: Se înmulțesc coeficienții între ei și părțile literale între ele (folosind regulile puterilor). Se aplică distributivitatea: \( A(B \pm C) = AB \pm AC \).
Ordinea operațiilor: 1. Puteri; 2. Înmulțiri și împărțiri; 3. Adunări și scăderi.
Înmulțirea: Se înmulțesc coeficienții între ei și părțile literale între ele (folosind regulile puterilor). Se aplică distributivitatea: \( A(B \pm C) = AB \pm AC \).
Ordinea operațiilor: 1. Puteri; 2. Înmulțiri și împărțiri; 3. Adunări și scăderi.
Adunare: \( 5x^2 - 2x^2 = 3x^2 \)
Înmulțire: \( (-3x) \cdot (2xy) = -6x^2y \)
Distributivitate: \( 2x(x + 3) = 2x^2 + 6x \)
Înmulțire: \( (-3x) \cdot (2xy) = -6x^2y \)
Distributivitate: \( 2x(x + 3) = 2x^2 + 6x \)
Reduceți termenii asemenea din expresia: \( 3x^2 + 5x - x^2 - 2x \).
Grupăm termenii cu aceeași parte literală:
\( (3x^2 - x^2) + (5x - 2x) = 2x^2 + 3x \)
Aceste formule ajută la efectuarea rapidă a înmulțirilor sau la restrângerea expresiilor.
Produsul sumei cu diferența: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Pătratul unui binom:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Pătratul unui trinom: \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)
Pătratul unui binom:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Pătratul unui trinom: \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)
\( (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 \)
\( (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 \)
\( (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 \)
Calculați rapid \( (x + 5)^2 \).
Aplicăm formula \( (a+b)^2 \): \( x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \).
Raționalizarea înseamnă amplificarea unei fracții pentru a elimina radicalii de la numitor. Expresia cu care amplificăm se numește conjugata numitorului.
Pentru \( n\sqrt{a} \), amplificăm cu \( \sqrt{a} \).
Pentru \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \), amplificăm cu \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \).
Pentru \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), amplificăm cu \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
Pentru \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \), amplificăm cu \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \).
Pentru \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), amplificăm cu \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
\( \frac{2}{\sqrt{3}} \) se amplifică cu \( \sqrt{3} \) \(\rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
\( \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \) se amplifică cu \( \sqrt{5}+\sqrt{2} \) \(\rightarrow \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} \).
\( \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \) se amplifică cu \( \sqrt{5}+\sqrt{2} \) \(\rightarrow \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} \).
Transformarea unei sume/diferențe algebrice într-un produs de factori. Nu se consideră încheiată până când niciun factor nu mai poate fi descompus.
Factorul comun: \( ax + ay = a(x + y) \)
Formule de calcul prescurtat (inversate): \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) sau \( a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \)
Gruparea termenilor: \( ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b) \)
Descompuneți în factori expresia: \( x^2 - 9 \).
Observăm o diferență de pătrate: \( x^2 - 3^2 \). Aplicăm formula: \( (x - 3)(x + 3) \).
O fracție algebrică este un raport de forma \( \frac{P(x)}{Q(x)} \).
Domeniul de definiție: O fracție algebrică are sens doar pentru valorile care nu anulează numitorul: \( \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\} \).
Simplificarea: Se descompun numărătorul și numitorul în factori, apoi se simplifică factorii comuni.
Adunarea/Scăderea: Necesită aducerea la un numitor comun.
Înmulțirea: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.
Împărțirea: Se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.
Adunarea/Scăderea: Necesită aducerea la un numitor comun.
Înmulțirea: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.
Împărțirea: Se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.
Stabiliți domeniul de definiție pentru \( F(x) = \frac{x+2}{x-5} \).
Numitorul nu poate fi 0. Deci \( x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5 \).
Domeniul de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \).
Forma generală: \( ax^2 + bx + c = 0 \), unde \( a \neq 0 \).
Discriminantul: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Dacă \( \Delta > 0 \): ecuația are două soluții distincte \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \).
Dacă \( \Delta = 0 \): ecuația are o soluție dublă \( x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} \).
Dacă \( \Delta < 0 \): ecuația nu are soluții reale.
Dacă \( \Delta = 0 \): ecuația are o soluție dublă \( x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} \).
Dacă \( \Delta < 0 \): ecuația nu are soluții reale.
Expresia \( ax^2 + bx + c \) se poate descompune folosind soluțiile ecuației atașate: \( a(x - x_1)(x - x_2) \). Dacă \( \Delta < 0 \), expresia nu se poate descompune în \( \mathbb{R} \).
Rezolvați ecuația \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Identificăm coeficienții: \( a=1, b=-5, c=6 \).
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
Deoarece \( \Delta > 0 \), calculăm \( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \).
\( x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \) și \( x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \). Soluțiile sunt \( 2 \) și \( 3 \).
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
Deoarece \( \Delta > 0 \), calculăm \( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \).
\( x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \) și \( x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \). Soluțiile sunt \( 2 \) și \( 3 \).
Numărul de aur (\( \phi \)): \( \phi \approx 1,618 \) este soluția pozitivă a ecuației \( x^2 - x - 1 = 0 \). Se regăsește în arhitectură, natură și șirul lui Fibonacci.
Teorema lui Thales: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.
Dacă \( MN \parallel BC \) (\( M \in AB, N \in AC \)), atunci \( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \).
Exerciții
Ușoară: Descompuneți în factori expresia \( 4x^2 - 25 \).
Expresia este o diferență de pătrate: \( (2x)^2 - 5^2 \).
Aplicând formula \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), obținem:
Răspuns: \( (2x - 5)(2x + 5) \).
Aplicând formula \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), obținem:
Răspuns: \( (2x - 5)(2x + 5) \).
Medie: Simplificați fracția algebrică \( F(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} \). Menționați și domeniul de definiție.
1. Descompunem numitorul pentru domeniu: \( x^2 + 2x = x(x+2) \). Domeniul de definiție: \( x \neq 0 \) și \( x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 \).
2. Descompunem numărătorul: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
3. Simplificăm factorul comun \( (x+2) \):
\[ F(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x} \]
Răspuns: Domeniul este \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\} \), iar fracția simplificată este \( \frac{x-2}{x} \).
2. Descompunem numărătorul: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
3. Simplificăm factorul comun \( (x+2) \):
\[ F(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x} \]
Răspuns: Domeniul este \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\} \), iar fracția simplificată este \( \frac{x-2}{x} \).
Medie: Rezolvați ecuația \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \).
Identificăm \( a=2, b=3, c=-5 \).
Calculăm discriminantul: \( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \).
Calculăm soluțiile: \( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \).
\( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \) și \( x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \).
Răspuns: Soluțiile sunt \( x \in \left\{ -\frac{5}{2}, 1 \right\} \).
Calculăm discriminantul: \( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \).
Calculăm soluțiile: \( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \).
\( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \) și \( x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \).
Răspuns: Soluțiile sunt \( x \in \left\{ -\frac{5}{2}, 1 \right\} \).
Dificilă: Arătați că rezultatul calculului \( E(x) = \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{2x} \) este constant pentru orice \( x \) din domeniul de definiție.
Aducem la același numitor în paranteză amplificând prima fracție cu \( (x+1) \) și pe a doua cu \( (x-1) \):
\[ \frac{x+1 + x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1} \]
Înmulțim rezultatul cu a doua fracție:
\[ E(x) = \frac{2x}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-1}{2x} \]
Simplificând pe diagonală \( 2x \) cu \( 2x \) și \( (x^2-1) \) cu \( (x^2-1) \), obținem:
Răspuns: \( E(x) = 1 \). Rezultatul este constant și nu depinde de \( x \).
Răspuns: \( E(x) = 1 \). Rezultatul este constant și nu depinde de \( x \).
