Cele mai importante aspecte ale lecției
• Funcția constantă \( f(x) = b \) are ca grafic o dreaptă orizontală.
• Funcția de gradul I \( f(x) = ax + b \) (\(a \neq 0\)) are ca grafic o dreaptă oblică. Taie \(Ox\) în \( (-\frac{b}{a}, 0) \) și \(Oy\) în \( (0, b) \).
• Desenarea graficului: Găsim intersecțiile cu axele (sau oricare alte două puncte) și le unim printr-o dreaptă.
• Restricții de domeniu: Dacă domeniul nu este \( \mathbb{R} \), graficul devine un segment, o semidreaptă sau o mulțime de puncte.
• Coliniaritate: Se poate demonstra folosind formula distanțelor (ex. \( AB+BC=AC \)) sau formula mijlocului unui segment.
• Funcția de gradul I \( f(x) = ax + b \) (\(a \neq 0\)) are ca grafic o dreaptă oblică. Taie \(Ox\) în \( (-\frac{b}{a}, 0) \) și \(Oy\) în \( (0, b) \).
• Desenarea graficului: Găsim intersecțiile cu axele (sau oricare alte două puncte) și le unim printr-o dreaptă.
• Restricții de domeniu: Dacă domeniul nu este \( \mathbb{R} \), graficul devine un segment, o semidreaptă sau o mulțime de puncte.
• Coliniaritate: Se poate demonstra folosind formula distanțelor (ex. \( AB+BC=AC \)) sau formula mijlocului unui segment.
Funcțiile de forma \( f : \mathscr{D} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + b \), unde \( a, b \in \mathbb{R} \), descriu dependențe între mărimi (inclusiv dependența direct proporțională când \(b=0\)).
În funcție de valoarea parametrului \(a\), distingem două cazuri principale:
Funcția constantă (\( a = 0 \)): Funcția devine \( f(x) = b \). Valorile funcției sunt egale cu \(b\) pentru orice \(x\).
Funcția de gradul I (\( a \neq 0 \)): Funcția rămâne \( f(x) = ax + b \).
Pentru funcția de gradul I, intersecțiile cu axele de coordonate se calculează astfel:
• Intersecția cu axa \( Ox \) (\( y = 0 \)): \( ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \). Punctul este \( A\left(-\frac{b}{a}, 0\right) \).
• Intersecția cu axa \( Oy \) (\( x = 0 \)): \( f(0) = a \cdot 0 + b = b \). Punctul este \( B(0, b) \).
• Intersecția cu axa \( Ox \) (\( y = 0 \)): \( ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \). Punctul este \( A\left(-\frac{b}{a}, 0\right) \).
• Intersecția cu axa \( Oy \) (\( x = 0 \)): \( f(0) = a \cdot 0 + b = b \). Punctul este \( B(0, b) \).
Forma graficului depinde de tipul funcției și de domeniul de definiție (dacă este \( \mathbb{R} \)).
Graficul unei funcții constante \( f(x) = b \) este o dreaptă orizontală care trece prin punctul \( B(0, b) \).
Graficul unei funcții de gradul I \( f(x) = ax + b \) (\(a \neq 0\)) este o dreaptă oblică.
- Pentru a trasa graficul (dreapta), este suficient să determinăm coordonatele a două puncte care aparțin acestuia și să le unim.
- Orice dreaptă orizontală sau oblică din plan este graficul unei funcții de această formă.
- Nicio dreaptă verticală NU este graficul unei funcții.
Dacă domeniul de definiție \( \mathscr{D} \) nu este întreaga mulțime \( \mathbb{R} \), graficul nu va fi o dreaptă infinită, ci o porțiune din ea, în funcție de tipul intervalului sau mulțimii.
| Domeniul \( \mathscr{D} \) | Forma graficului funcției \( f : \mathscr{D} \to \mathbb{R} \) |
|---|---|
| \( (-\infty, \alpha] \) sau \( [\beta, +\infty) \) | Semidreaptă care își conține originea (capătul) |
| \( (-\infty, \alpha) \) sau \( (\beta, +\infty) \) | Semidreaptă care NU își conține originea |
| \( [\alpha, \beta] \) | Segment care își conține ambele capete |
| \( (\alpha, \beta) \) | Segment care NU își conține capetele |
| \( [\alpha, \beta) \) sau \( (\alpha, \beta] \) | Segment care își conține doar un singur capăt |
| \( \{ \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \} \) | \( n \) puncte coliniare discrete |
Ce formă geometrică are graficul funcției \( f: [-2, 5) \to \mathbb{R}, f(x) = 3x+1 \)?
Deoarece domeniul este un interval închis la stânga și deschis la dreapta \( [\alpha, \beta) \), graficul este un segment care își conține doar unul dintre capete (capătul corespunzător lui \(x=-2\)).
Adesea, este necesar să demonstrăm că trei puncte \( A, B, C \) sunt coliniare (se află pe aceeași dreaptă, adică aparțin aceluiași grafic). Există două metode algebrice principale:
1. Metoda distanțelor
Se calculează lungimile segmentelor folosind formula distanței dintre două puncte: \[ AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \] Punctele sunt coliniare dacă suma lungimilor a două segmente este egală cu lungimea celui de-al treilea (ex: \( AB + BC = AC \)).
Se calculează lungimile segmentelor folosind formula distanței dintre două puncte: \[ AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \] Punctele sunt coliniare dacă suma lungimilor a două segmente este egală cu lungimea celui de-al treilea (ex: \( AB + BC = AC \)).
2. Metoda mijlocului
Se verifică dacă un punct este mijlocul segmentului format de celelalte două, utilizând coordonatele mijlocului: \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \]
Se verifică dacă un punct este mijlocul segmentului format de celelalte două, utilizând coordonatele mijlocului: \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \]
Exerciții
Ușoară: Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x - 6 \) cu axele sistemului de coordonate \( xOy \).
1. Intersecția cu axa \( Ox \) (\( y = 0 \)):
\[ f(x) = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \]
Punctul este \( A(3, 0) \).
2. Intersecția cu axa \( Oy \) (\( x = 0 \)): \[ f(0) = 2(0) - 6 = -6 \] Punctul este \( B(0, -6) \).
2. Intersecția cu axa \( Oy \) (\( x = 0 \)): \[ f(0) = 2(0) - 6 = -6 \] Punctul este \( B(0, -6) \).
Medie: Determinați funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + b \) știind că graficul său conține punctele \( A(0, 4) \) și \( B(2, 10) \).
Dacă un punct aparține graficului, coordonatele sale verifică legea funcției: \( f(x) = y \).
Pentru \( A(0, 4) \): \( f(0) = 4 \implies a \cdot 0 + b = 4 \implies b = 4 \).
Pentru \( B(2, 10) \): \( f(2) = 10 \implies a \cdot 2 + b = 10 \).
Înlocuim \( b = 4 \) în a doua ecuație: \[ 2a + 4 = 10 \implies 2a = 6 \implies a = 3 \] Funcția este: \( f(x) = 3x + 4 \).
Pentru \( A(0, 4) \): \( f(0) = 4 \implies a \cdot 0 + b = 4 \implies b = 4 \).
Pentru \( B(2, 10) \): \( f(2) = 10 \implies a \cdot 2 + b = 10 \).
Înlocuim \( b = 4 \) în a doua ecuație: \[ 2a + 4 = 10 \implies 2a = 6 \implies a = 3 \] Funcția este: \( f(x) = 3x + 4 \).
Dificilă: Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -4x + 8 \). Dacă \( A \) și \( B \) sunt punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele \( Ox \), respectiv \( Oy \), calculați aria triunghiului \( OAB \), unde \( O \) este originea sistemului de axe.
Aflăm punctele de intersecție:
Intersecția cu \( Ox \): \( -4x + 8 = 0 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \implies A(2, 0) \).
Intersecția cu \( Oy \): \( f(0) = 8 \implies B(0, 8) \).
Triunghiul \( OAB \) este dreptunghic în \( O \) (axele sunt perpendiculare).
Catetele sunt distanțele de la origine la punctele \( A \) și \( B \):
\( OA = |x_A| = 2 \)
\( OB = |y_B| = 8 \)
Aria triunghiului este: \( \mathcal{A} = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{2 \cdot 8}{2} = 8 \) u.m. (unități de măsură la pătrat).
Intersecția cu \( Ox \): \( -4x + 8 = 0 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \implies A(2, 0) \).
Intersecția cu \( Oy \): \( f(0) = 8 \implies B(0, 8) \).
Triunghiul \( OAB \) este dreptunghic în \( O \) (axele sunt perpendiculare).
Catetele sunt distanțele de la origine la punctele \( A \) și \( B \):
\( OA = |x_A| = 2 \)
\( OB = |y_B| = 8 \)
Aria triunghiului este: \( \mathcal{A} = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{2 \cdot 8}{2} = 8 \) u.m. (unități de măsură la pătrat).
