Cele mai importante aspecte ale lecției
Analizați comportamentul unei serii de date statistice folosind indicatorii tendinței centrale:
- Media: Suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor (\( \bar{X} = \frac{\sum x}{N} \)).
- Modul: Valoarea care se repetă de cele mai multe ori (are frecvența maximă).
- Mediana: Valoarea aflată la mijloc, după ce datele au fost ordonate crescător (dacă numărul de date e par, se face media celor două din mijloc).
- Amplitudinea: Diferența dintre valoarea maximă și valoarea minimă din serie.
Populație statistică reprezintă mulțimea studiată, formată din unități (indivizi), asupra căreia se analizează o anumită caracteristică.
Prin colectarea datelor se obține un set de valori: \( x_1, x_2, \dots, x_N \).
Frecvența absolută (\( n \)) reprezintă numărul de apariții ale unei anumite valori în cadrul setului de date.
Dacă avem valorile distincte \( x_1, x_2, \dots, x_k \), iar fiecare se repetă de \( n_1, n_2, \dots, n_k \) ori, datele se pot organiza într-un tabel numit serie de date statistice. Totalul unităților este \( N = n_1 + n_2 + \dots + n_k \).
| Valoarea (\( x \)) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \(\dots\) | \( x_k \) |
|---|---|---|---|---|
| Frecvența (\( n \)) | \( n_1 \) | \( n_2 \) | \(\dots\) | \( n_k \) |
Analizați tabelul de mai jos care reprezintă notele obținute de elevi la un test. Câți elevi au participat la test în total?
| Nota | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Număr elevi (frecvență) | 2 | 3 | 5 | 6 | 3 | 1 |
Numărul total de elevi (\( N \)) se obține adunând toate frecvențele:
\( N = 2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20 \) elevi.
\( N = 2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20 \) elevi.
Media unei serii de date statistice reprezintă media aritmetică a tuturor valorilor seriei.
Pentru o listă simplă de \( N \) valori:
\[ \bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} \]
Pentru o serie organizată cu frecvențe (medie aritmetică ponderată):
\[ \bar{X} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} \]
Media nu este, obligatoriu, o valoare regăsită exact în seria de date. De asemenea, ea poate fi influențată semnificativ de valorile extreme (foarte mici sau foarte mari).
Calculați media pentru următoarea serie de date: 4, 6, 6, 8, 10, 14.
Avem 6 valori (\( N = 6 \)).
\( \bar{X} = \frac{4 + 6 + 6 + 8 + 10 + 14}{6} = \frac{48}{6} = 8 \).
\( \bar{X} = \frac{4 + 6 + 6 + 8 + 10 + 14}{6} = \frac{48}{6} = 8 \).
Modul (sau dominanta) reprezintă acea valoare a seriei de date căreia îi corespunde cea mai mare frecvență (valoarea care apare de cele mai multe ori).
Este posibil ca mai multor valori să le corespundă aceeași frecvență maximă. În acest caz, spunem că seria este multimodală (sau bimodală, dacă are două moduri).
Determinați modul pentru seria următoare de date reprezentând numărul de cărți citite de un grup de copii:
| Cărți citite | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Număr copii | 5 | 8 | 8 | 3 | 1 |
Frecvența maximă este 8. Această frecvență corespunde valorilor 2 și 3.
Prin urmare, seria este bimodală, având modurile 2 și 3.
Prin urmare, seria este bimodală, având modurile 2 și 3.
Pentru a determina mediana, valorile setului de date trebuie ordonate crescător: \( x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_N \).
Mediana este valoarea aflată exact la mijlocul șirului ordonat. Împarte seria în două jumătăți egale ca număr de elemente.
Dacă numărul total de date \( N \) este impar (\( N = 2p + 1 \)), mediana este valoarea centrală, situată pe poziția \( p + 1 \).
Dacă numărul total de date \( N \) este par (\( N = 2p \)), mediana se calculează ca media aritmetică a celor două valori centrale (situate pe pozițiile \( p \) și \( p + 1 \)): \( \frac{x_p + x_{p+1}}{2} \).
Exemplu par: Pentru seria 2, 5, 8, 10, avem \( N=4 \) (par). Cele două valori centrale sunt 5 și 8. Mediana = \( \frac{5 + 8}{2} = 6,5 \).
Determinați mediana seriei: 7, 3, 9, 2, 5.
1. Ordonăm crescător valorile: 2, 3, 5, 7, 9.
2. Deoarece avem 5 valori (\( N=5 \), impar), mediana este valoarea din mijloc (a treia valoare).
Răspuns: Mediana este 5.
2. Deoarece avem 5 valori (\( N=5 \), impar), mediana este valoarea din mijloc (a treia valoare).
Răspuns: Mediana este 5.
Amplitudinea unei serii statistice reprezintă diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare a seriei.
\[ \text{Amplitudinea} = x_{max} - x_{min} \]
Care este amplitudinea seriei statistice referitoare la temperaturile dintr-o săptămână: 12°C, 15°C, 10°C, 18°C, 14°C, 11°C, 9°C?
Cea mai mare valoare este 18, iar cea mai mică este 9.
Amplitudinea = \( 18 - 9 = 9 \).
Amplitudinea = \( 18 - 9 = 9 \).
Exerciții
Ușoară: Se consideră setul de date reprezentând vârstele unor participanți la un curs: 12, 14, 12, 15, 12, 16, 14.
Determinați amplitudinea și modul seriei de date.
Determinați amplitudinea și modul seriei de date.
Amplitudinea: Valoarea maximă este 16, iar minima este 12. Amplitudinea = \( 16 - 12 = 4 \).
Modul: Frecvența aparițiilor este: 12 (apare de 3 ori), 14 (apare de 2 ori), 15 (1 dată), 16 (1 dată). Deoarece 12 are cea mai mare frecvență, Modul = 12.
Modul: Frecvența aparițiilor este: 12 (apare de 3 ori), 14 (apare de 2 ori), 15 (1 dată), 16 (1 dată). Deoarece 12 are cea mai mare frecvență, Modul = 12.
Medie: Determinați media și mediana pentru următoarea serie de date statistice: 8, 4, 10, 6, 4, 10.
Media: Suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor (\( N = 6 \)).
\( \bar{X} = \frac{8 + 4 + 10 + 6 + 4 + 10}{6} = \frac{42}{6} = 7 \).
Mediana: Ordonăm datele crescător: 4, 4, 6, 8, 10, 10.
Având un număr par de valori (\( N=6 \)), luăm cele două valori din mijloc (pozițiile 3 și 4): 6 și 8.
Mediana = \( \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).
\( \bar{X} = \frac{8 + 4 + 10 + 6 + 4 + 10}{6} = \frac{42}{6} = 7 \).
Mediana: Ordonăm datele crescător: 4, 4, 6, 8, 10, 10.
Având un număr par de valori (\( N=6 \)), luăm cele două valori din mijloc (pozițiile 3 și 4): 6 și 8.
Mediana = \( \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).
Dificilă: Un antrenor notează numărul de goluri marcate pe meci de echipa sa pe parcursul unui sezon, sintetizând rezultatele în tabelul de mai jos:
Determinați numărul total de meciuri, media golurilor pe meci, modul și mediana seriei.
| Goluri marcate (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Număr meciuri (n) | 2 | 6 | 8 | 3 | 1 |
Numărul total de meciuri (\(N\)): Suma frecvențelor. \( N = 2 + 6 + 8 + 3 + 1 = 20 \).
Media: Folosim formula mediei ponderate.
\( \bar{X} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{20} = \frac{0 + 6 + 16 + 9 + 4}{20} = \frac{35}{20} = 1,75 \) goluri pe meci.
Modul: Valoarea \( x \) cu frecvența cea mai mare. Frecvența maximă este 8, corespunzătoare valorii 2. Modul = 2.
Mediana: Deoarece avem \( N=20 \) (par), mediana este media aritmetică a valorilor de pe pozițiile 10 și 11 din șirul ordonat.
Analizând cum se acumulează frecvențele:
- Pozițiile 1-2 au valoarea 0
- Pozițiile 3-8 au valoarea 1
- Pozițiile 9-16 au valoarea 2.
Prin urmare, atât valoarea a 10-a, cât și a 11-a este 2.
Mediana = \( \frac{2 + 2}{2} = 2 \).
Media: Folosim formula mediei ponderate.
\( \bar{X} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{20} = \frac{0 + 6 + 16 + 9 + 4}{20} = \frac{35}{20} = 1,75 \) goluri pe meci.
Modul: Valoarea \( x \) cu frecvența cea mai mare. Frecvența maximă este 8, corespunzătoare valorii 2. Modul = 2.
Mediana: Deoarece avem \( N=20 \) (par), mediana este media aritmetică a valorilor de pe pozițiile 10 și 11 din șirul ordonat.
Analizând cum se acumulează frecvențele:
- Pozițiile 1-2 au valoarea 0
- Pozițiile 3-8 au valoarea 1
- Pozițiile 9-16 au valoarea 2.
Prin urmare, atât valoarea a 10-a, cât și a 11-a este 2.
Mediana = \( \frac{2 + 2}{2} = 2 \).
