Cele mai importante aspecte ale lecției
Funcții:
• Condiția apartenenței la grafic: \(M(a, b) \in G_f \iff f(a) = b\).
• Intersecția \(Ox\): \(f(x) = 0 \). Intersecția \(Oy\): \(f(0) = y \).
• Graficul pentru \(f(x) = ax + b\) pe \(\mathbb{R}\) este o dreaptă, pe un interval este un segment/semidreaptă, iar pe o mulțime finită sunt puncte izolate.
Statistică:
• Media: Suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor total.
• Modul: Valoarea cu cea mai mare frecvență absolută (care apare de cele mai multe ori).
• Mediana: Valoarea de la mijlocul datelor sortate crescător (sau media celor două din centru, dacă sunt un număr par de date).
• Amplitudinea: Diferența maxim \(- \) minim.
• Condiția apartenenței la grafic: \(M(a, b) \in G_f \iff f(a) = b\).
• Intersecția \(Ox\): \(f(x) = 0 \). Intersecția \(Oy\): \(f(0) = y \).
• Graficul pentru \(f(x) = ax + b\) pe \(\mathbb{R}\) este o dreaptă, pe un interval este un segment/semidreaptă, iar pe o mulțime finită sunt puncte izolate.
Statistică:
• Media: Suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor total.
• Modul: Valoarea cu cea mai mare frecvență absolută (care apare de cele mai multe ori).
• Mediana: Valoarea de la mijlocul datelor sortate crescător (sau media celor două din centru, dacă sunt un număr par de date).
• Amplitudinea: Diferența maxim \(- \) minim.
O funcție este un triplet \((A, B, f)\), unde \(A\) și \(B\) sunt două mulțimi nevide, iar \(f\) este o lege de corespondență care asociază fiecărui element din \(A\) un singur element din \(B\).
Scriem \(f: A \rightarrow B\). \(A\) este domeniul de definiție, \(B\) este codomeniul, iar \(f\) este legea de corespondență. Dacă \(x \in A\), elementul \(y = f(x) \in B\) se numește imaginea lui \(x\) sau valoarea funcției în \(x\).
Imaginea funcției (notată \(Im f\)) este submulțimea lui \(B\) formată din toate valorile efective pe care le ia funcția.
Două funcții sunt egale dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege de corespondență.
O funcție numerică are domeniul și codomeniul submulțimi ale lui \(\mathbb{R}\). Legea ei de corespondență se exprimă analitic printr-o formulă.
Domeniul maximal de definiție este format din toate numerele reale pentru care expresia matematică a funcției are sens (ex: numitorul unei fracții trebuie să fie diferit de zero).
Pentru expresia \(\frac{x}{x-2}\), numitorul \(x-2\) nu poate fi 0, deci \(x \neq 2\). Funcția se definește pe domeniul maximal astfel: \(f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x}{x-2}\).
Graficul funcției \(f\) (notat cu \(G_f\)) este mulțimea perechilor de forma \((x, f(x))\), unde \(x \in A\).
\[ G_f = \{(x, y) \mid x \in A \text{ și } y = f(x)\} \]
Condiția de apartenență: Un punct \(M(a, b)\) aparține graficului \(G_f\) dacă și numai dacă \(a\) aparține domeniului și \(f(a) = b\).
Nicio dreaptă verticală nu poate fi graficul unei funcții, deoarece un element din domeniu ar avea mai multe imagini, încălcând definiția funcției.
Intersecția cu axa \(Oy\): Orice punct de pe axa ordonatelor are abscisa 0. Se calculează \(f(0)\). Punctul este \(A(0, f(0))\).
Intersecția cu axa \(Ox\): Orice punct de pe axa absciselor are ordonata 0. Se rezolvă ecuația \(f(x) = 0\). Dacă \(x_1\) este soluție, punctul este \(B(x_1, 0)\).
Aflați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x - 6\) cu axele de coordonate.
Intersecția cu \(Oy\): \(x = 0 \implies f(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6\). Punctul este \(A(0, -6)\).
Intersecția cu \(Ox\): \(f(x) = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3\). Punctul este \(B(3, 0)\).
Intersecția cu \(Ox\): \(f(x) = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3\). Punctul este \(B(3, 0)\).
Funcțiile de forma \(f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax + b\), unde \(a, b \in \mathbb{R}\), modelează dependențe liniare (ex: proporționalitate directă).
1. Funcția constantă (\(a = 0\)): Forma ei este \(f(x) = b\). Reprezentarea geometrică este o dreaptă orizontală (paralelă cu \(Ox\)).
2. Funcția de gradul I (\(a \neq 0\)): Forma ei este \(f(x) = ax + b\). Reprezentarea geometrică este o dreaptă oblică.
Pentru a desena graficul pe mulțimea \(\mathbb{R}\), este suficient să aflăm coordonatele a două puncte și să trasăm dreapta care trece prin ele. Dacă domeniul de definiție \(D\) este restrâns, graficul nu mai este o dreaptă infinită.
| Domeniul de definiție \(D\) | Reprezentarea geometrică a graficului |
|---|---|
| \(\mathbb{R}\) | O dreaptă neîntreruptă |
| Un interval nemărginit (ex: \([a, +\infty)\)) | O semidreaptă |
| Un interval mărginit (ex: \([a, b]\)) | Un segment |
| O mulțime finită de numere discrete | Puncte izolate coliniare |
Coliniaritatea: Punctele \(A, B, C\) sunt coliniare dacă și numai dacă aparțin aceluiași grafic al unei funcții liniare. Altfel, se pot folosi distanțele: coliniare dacă \(AB + BC = AC\).
Când analizăm o populație statistică, extragem anumite date (valori). Frecvența absolută reprezintă de câte ori se repetă o anumită valoare într-o serie de date. Pentru a interpreta datele, se folosesc patru indicatori principali:
Media (\(\bar{X}\)) - reprezintă media aritmetică a tuturor datelor din set.
\[ \bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} \]
Dacă datele au frecvențe diferite (\(n_i\)), folosim media ponderată: \(\bar{X} = \frac{x_1n_1 + x_2n_2 + \dots + x_kn_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}\)
2. Modul (Dominanta) - este acea valoare a seriei de date care are cea mai mare frecvență de apariție.
3. Amplitudinea - este diferența dintre cea mai mare valoare (\(x_{max}\)) și cea mai mică valoare (\(x_{min}\)) din setul de date.
4. Mediana - este valoarea situată la mijlocul șirului de date ordonate crescător.
Dacă numărul de date este impar, mediana este valoarea fix din centru.
Dacă numărul de date este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.
Probleme practice
Ușoară: Se consideră funcția \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = -3x + 5\). Verificați dacă punctul \(M(2, -1)\) aparține graficului funcției.
Folosim condiția de apartenență la grafic: \(M(x, y) \in G_f \iff f(x) = y\).
Calculăm \(f(2)\): \(f(2) = -3 \cdot 2 + 5 = -6 + 5 = -1\).
Deoarece \(f(2) = -1\), rezultă că punctul \(M(2, -1)\) aparține graficului \(G_f\).
Calculăm \(f(2)\): \(f(2) = -3 \cdot 2 + 5 = -6 + 5 = -1\).
Deoarece \(f(2) = -1\), rezultă că punctul \(M(2, -1)\) aparține graficului \(G_f\).
Medie: Determinați numărul real \(a\) știind că punctul \(P(a, 7)\) aparține graficului funcției \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 4x - 1\).
Punctul \(P(a, 7) \in G_f \iff f(a) = 7\).
Înlocuim în legea funcției: \(4a - 1 = 7\).
\(4a = 8 \implies a = 2\).
Înlocuim în legea funcției: \(4a - 1 = 7\).
\(4a = 8 \implies a = 2\).
Dificilă: Notele obținute de 10 elevi la un test sunt: \(6, 8, 5, 9, 8, 10, 7, 8, 9, 6\). Aflați media, modul, amplitudinea și mediana acestei serii de date statistice.
Mai întâi ordonăm datele crescător: \(5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10\). (N = 10 date)
1. Media: \(\bar{X} = \frac{5 + 6 \cdot 2 + 7 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 10}{10} = \frac{5 + 12 + 7 + 24 + 18 + 10}{10} = \frac{76}{10} = 7,6\).
2. Modul: Nota cu frecvența cea mai mare este \(8\) (apare de 3 ori).
3. Amplitudinea: \(x_{max} - x_{min} = 10 - 5 = 5\).
4. Mediana: Numărul de date este par (10). Valorile din mijloc sunt a 5-a și a 6-a valoare din șirul ordonat: \(8\) și \(8\). Mediana \(= \frac{8 + 8}{2} = 8\).
1. Media: \(\bar{X} = \frac{5 + 6 \cdot 2 + 7 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 10}{10} = \frac{5 + 12 + 7 + 24 + 18 + 10}{10} = \frac{76}{10} = 7,6\).
2. Modul: Nota cu frecvența cea mai mare este \(8\) (apare de 3 ori).
3. Amplitudinea: \(x_{max} - x_{min} = 10 - 5 = 5\).
4. Mediana: Numărul de date este par (10). Valorile din mijloc sunt a 5-a și a 6-a valoare din șirul ordonat: \(8\) și \(8\). Mediana \(= \frac{8 + 8}{2} = 8\).
