Cele mai importante aspecte ale lecției
• Teorema celor 3 Perpendiculare (T3P): Perpendiculară pe plan + Perpendiculară din piciorul ei pe o dreaptă din plan = Oblică perpendiculară pe acea dreaptă din plan. Folosită pentru distanța de la un punct la o dreaptă.
• Reciproca I (R1T3P): Dacă oblica e perpendiculară pe o dreaptă din plan, proiecția ei pe plan este și ea perpendiculară pe acea dreaptă.
• Reciproca a II-a (R2T3P): Utilitate majoră în aflarea distanței de la un punct la un plan (lungimea înălțimii ridicate spre intersecția perpendicularelor din plan).
• Plane paralele: Distanța dintre ele se reduce la aflarea distanței de la un punct oarecare de pe un plan, pe suprafața celuilalt plan.
• Reciproca I (R1T3P): Dacă oblica e perpendiculară pe o dreaptă din plan, proiecția ei pe plan este și ea perpendiculară pe acea dreaptă.
• Reciproca a II-a (R2T3P): Utilitate majoră în aflarea distanței de la un punct la un plan (lungimea înălțimii ridicate spre intersecția perpendicularelor din plan).
• Plane paralele: Distanța dintre ele se reduce la aflarea distanței de la un punct oarecare de pe un plan, pe suprafața celuilalt plan.
Fie o dreaptă \( d \) perpendiculară pe un plan \( \alpha \) în punctul \( O \) și o dreaptă \( OA \) perpendiculară în \( A \) pe o dreaptă \( a \) situată în planul \( \alpha \) (\( O \notin a \)). Atunci, pentru orice punct \( P \) aparținând dreptei \( d \), distanța de la \( P \) la dreapta \( a \) se obține unind \( P \) cu \( A \), adică dreapta \( PA \) este perpendiculară pe dreapta \( a \).
\[ \left. \begin{array}{l} d \perp \alpha, d \cap \alpha = \{O\} \\ OA \perp a, A \in a, a \subset \alpha, O \notin a \\ P \in d \end{array} \right\} \Rightarrow PA \perp a \]
Fie un dreptunghi \( ABCD \) inclus într-un plan și o perpendiculară \( EA \) pe acest plan. Demonstrația că \( EB \perp BC \) decurge din:
1. \( EA \perp (ABC) \)
2. \( AB \perp BC \) (deoarece \( ABCD \) este dreptunghi)
3. \( BC \subset (ABC) \)
Conform teoremei celor trei perpendiculare \( \Rightarrow EB \perp BC \).
1. \( EA \perp (ABC) \)
2. \( AB \perp BC \) (deoarece \( ABCD \) este dreptunghi)
3. \( BC \subset (ABC) \)
Conform teoremei celor trei perpendiculare \( \Rightarrow EB \perp BC \).
Fie o dreaptă \( d \) perpendiculară pe un plan \( \alpha \) în punctul \( O \) și dreapta \( a \) inclusă în \( \alpha \) (\( O \notin a \)). Dacă o oblică \( PA \) (\( P \in d, A \in a \)) este perpendiculară pe dreapta \( a \), atunci și proiecția ei pe plan, \( OA \), este perpendiculară pe \( a \).
\[ \left. \begin{array}{l} d \perp \alpha, d \cap \alpha = \{O\} \\ a \subset \alpha, O \notin a \\ PA \perp a, P \in d, A \in a \end{array} \right\} \Rightarrow OA \perp a \]
Această reciprocă este folosită în special pentru a demonstra că o dreaptă din plan este perpendiculară pe proiecția unei oblice, ajutând deseori la determinarea distanței de la un punct la o dreaptă. Dacă perpendicularele din \( P \) și \( O \) cad pe dreapta \( a \), ele au același picior de sprijin.
Fie o dreaptă \( a \) și \( A \) un punct al ei. Dacă din punctele \( P \) și \( O \) se construiesc perpendiculare pe dreapta \( a \), astfel încât \( PA \perp a \) și \( OA \perp a \), iar distanța dintre cele două puncte este \( PO \perp OA \) (punctele fiind necoliniare), atunci segmentul \( PO \) este perpendicular pe întregul plan determinat de dreptele \( OA \) și \( a \).
A doua reciprocă este fundamentală pentru calcularea distanței de la un punct la un plan, indicând faptul că segmentul \( PO \) reprezintă chiar această distanță.
Distanța dintre două plane paralele este constantă și este egală cu lungimea segmentului perpendicular coborât din orice punct al primului plan pe cel de-al doilea plan.
Dacă \( \alpha \parallel \beta \), atunci:
\[ d(\alpha, \beta) = d(P, \beta) \]
unde \( P \) este orice punct astfel încât \( P \in \alpha \).
Probleme practice
Dificultate Ușoară: Considerăm un dreptunghi \( ABCD \) cu \( AB = 4 \) cm și \( BC = 3 \) cm. Din punctul \( A \) se ridică pe planul dreptunghiului perpendiculara \( MA \perp (ABC) \) având lungimea de \( 12 \) cm. Calculați distanța de la punctul \( M \) la dreapta \( BC \).
1. Identificarea distanței:
Distanța de la punctul \( M \) la dreapta \( BC \) este lungimea segmentului \( MB \). Pentru a demonstra acest lucru folosim Teorema celor trei perpendiculare:
\( MA \perp (ABC) \)
\( AB \perp BC \) (\( ABCD \) este dreptunghi)
\( BC \subset (ABC) \)
\( \Rightarrow MB \perp BC \). Deci, \( d(M, BC) = MB \).
2. Calculul lungimii: În triunghiul dreptunghic \( MAB \) (\( \angle A = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora: \[ MB^2 = MA^2 + AB^2 \] \[ MB^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160 \] \[ MB = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \text{ cm} \]
\( MA \perp (ABC) \)
\( AB \perp BC \) (\( ABCD \) este dreptunghi)
\( BC \subset (ABC) \)
\( \Rightarrow MB \perp BC \). Deci, \( d(M, BC) = MB \).
2. Calculul lungimii: În triunghiul dreptunghic \( MAB \) (\( \angle A = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora: \[ MB^2 = MA^2 + AB^2 \] \[ MB^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160 \] \[ MB = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \text{ cm} \]
Dificultate Medie: Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( \angle A = 90^\circ \), \( AB = 6 \) cm și \( AC = 8 \) cm. Se ridică perpendiculara \( DA \perp (ABC) \), cu \( DA = 2 \) cm. Calculați distanța de la punctul \( D \) la dreapta \( BC \).
1. Construcția și aplicarea T3P:
Fie \( AE \perp BC \), cu \( E \in BC \).
Din relațiile \( DA \perp (ABC) \), \( AE \perp BC \) și \( BC \subset (ABC) \), conform Teoremei celor trei perpendiculare, rezultă că \( DE \perp BC \). Astfel, distanța este lungimea segmentului \( DE \).
2. Calculul elementelor necesare: În triunghiul dreptunghic \( ABC \), ipotenuza \( BC \) este: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei \( AE \) este: \[ AE = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8 \text{ cm} \]
3. Calculul final: În triunghiul dreptunghic \( DAE \) (\( \angle A = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora: \[ DE^2 = DA^2 + AE^2 \] \[ DE^2 = 2^2 + (4,8)^2 = 4 + 23,04 = 27,04 \] \[ DE = \sqrt{27,04} = 5,2 \text{ cm} \]
Din relațiile \( DA \perp (ABC) \), \( AE \perp BC \) și \( BC \subset (ABC) \), conform Teoremei celor trei perpendiculare, rezultă că \( DE \perp BC \). Astfel, distanța este lungimea segmentului \( DE \).
2. Calculul elementelor necesare: În triunghiul dreptunghic \( ABC \), ipotenuza \( BC \) este: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei \( AE \) este: \[ AE = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8 \text{ cm} \]
3. Calculul final: În triunghiul dreptunghic \( DAE \) (\( \angle A = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora: \[ DE^2 = DA^2 + AE^2 \] \[ DE^2 = 2^2 + (4,8)^2 = 4 + 23,04 = 27,04 \] \[ DE = \sqrt{27,04} = 5,2 \text{ cm} \]
Dificultate Ridicată: Păstrând configurația de la problema anterioară (\( \Delta ABC \) dreptunghic în \( A \), \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm, \( DA \perp (ABC) \), \( DA = 2 \) cm), calculați distanța de la punctul \( A \) la planul \( (DBC) \).
1. Determinarea proiecției distanței:
Am demonstrat anterior că \( AE \perp BC \) și \( DE \perp BC \).
Fie un punct \( P \in DE \) astfel încât \( AP \perp DE \).
Din relațiile \( BC \perp AE \) și \( BC \perp DE \) deducem că \( BC \perp (DAE) \).
Deoarece \( AP \subset (DAE) \), rezultă că \( BC \perp AP \).
Cum \( AP \perp DE \) și \( AP \perp BC \) (iar \( DE \) și \( BC \) sunt concurente în \( E \)), rezultă că \( AP \perp (DBC) \).
Așadar, distanța căutată este lungimea segmentului \( AP \).
2. Calculul lungimii distanței: În triunghiul dreptunghic \( DAE \) (\( \angle DAE = 90^\circ \)), \( AP \) este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei \( DE \). \[ AP = \frac{DA \cdot AE}{DE} \] Folosind valorile din problema precedentă (\( DA = 2 \), \( AE = 4,8 \), \( DE = 5,2 \)): \[ AP = \frac{2 \cdot 4,8}{5,2} = \frac{9,6}{5,2} = \frac{96}{52} = \frac{24}{13} \text{ cm} \]
2. Calculul lungimii distanței: În triunghiul dreptunghic \( DAE \) (\( \angle DAE = 90^\circ \)), \( AP \) este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei \( DE \). \[ AP = \frac{DA \cdot AE}{DE} \] Folosind valorile din problema precedentă (\( DA = 2 \), \( AE = 4,8 \), \( DE = 5,2 \)): \[ AP = \frac{2 \cdot 4,8}{5,2} = \frac{9,6}{5,2} = \frac{96}{52} = \frac{24}{13} \text{ cm} \]
