Cele mai importante aspecte ale lecției
Pentru a demonstra că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, nu trebuie să verificăm toate dreptele din acel plan. Este suficient să demonstrăm că dreapta respectivă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.
Mai mult, perpendicularitatea se transmite prin paralelism: două drepte perpendiculare pe același plan sunt automat paralele între ele, iar dacă avem o dreaptă perpendiculară pe un plan, orice paralelă la ea va "înțepa" planul tot perpendicular (\( 90^\circ \)).
Mai mult, perpendicularitatea se transmite prin paralelism: două drepte perpendiculare pe același plan sunt automat paralele între ele, iar dacă avem o dreaptă perpendiculară pe un plan, orice paralelă la ea va "înțepa" planul tot perpendicular (\( 90^\circ \)).
O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.
Notăm \( d \perp \alpha \) pentru a exprima faptul că dreapta \( d \) este perpendiculară pe planul \( \alpha \).
\[ (\forall a \subset \alpha, d \perp a) \Rightarrow d \perp \alpha \]
Deoarece este imposibil în practică să verificăm perpendicularitatea pe toate dreptele dintr-un plan, folosim următoarea teoremă pentru demonstrații.
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci aceasta este perpendiculară pe plan.
Pentru a demonstra că \( d \perp \alpha \), căutăm în planul \( \alpha \) două drepte \( a \) și \( b \) care se intersectează (\( a \cap b \neq \emptyset \)) și arătăm că \( d \perp a \) și \( d \perp b \).
Într-un cub sau paralelipiped dreptunghic \( ABCDA'B'C'D' \):
Muchiile laterale sunt perpendiculare pe fețele bazei. De exemplu, \( AA' \perp (ABC) \) deoarece \( AA' \) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul bazei: \( AA' \perp AB \) și \( AA' \perp AD \) (acestea formând fețe dreptunghiulare), iar \( AB \cap AD = \{A\} \).
Muchiile laterale sunt perpendiculare pe fețele bazei. De exemplu, \( AA' \perp (ABC) \) deoarece \( AA' \) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul bazei: \( AA' \perp AB \) și \( AA' \perp AD \) (acestea formând fețe dreptunghiulare), iar \( AB \cap AD = \{A\} \).
Unicitatea: Fiind dat un plan \( \alpha \) și un punct \( P \) (situat oriunde în spațiu), există o singură dreaptă perpendiculară pe planul \( \alpha \) care trece prin acel punct \( P \).
Drepte paralele: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci orice dreaptă paralelă cu ea va fi, de asemenea, perpendiculară pe acel plan.
\[ \left. \begin{matrix} a \perp \alpha \\ a \parallel b \end{matrix} \right\} \Rightarrow b \perp \alpha \]
Perpendiculare paralele între ele: Două drepte diferite, care sunt perpendiculare pe același plan, sunt paralele între ele.
\[ \left. \begin{matrix} a \perp \alpha \\ b \perp \alpha \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \parallel b \]
Relația cu planele paralele:
1. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe unul dintre două plane paralele, atunci este perpendiculară și pe celălalt.
2. Reciproc, dacă două plane diferite sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt paralele.
1. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe unul dintre două plane paralele, atunci este perpendiculară și pe celălalt.
2. Reciproc, dacă două plane diferite sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt paralele.
Planul mediator al unui segment \( AB \) este planul perpendicular pe segment și care trece prin mijlocul acestuia.
Este analogul din spațiu al mediatoarei unui segment din geometria plană.
Orice punct situat în planul mediator al unui segment este egal depărtat de extremitățile acelui segment.
Probleme practice
Ușoară: Se știe că dreapta \( m \) este perpendiculară pe planul \( \beta \). Dreapta \( x \) este o dreaptă oarecare conținută în planul \( \beta \). Ce măsură are unghiul format de dreptele \( m \) și \( x \)?
Conform definiției, dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, ea este perpendiculară pe absolut toate dreptele conținute în acel plan.
Prin urmare, \( m \perp x \), deci măsura unghiului dintre cele două drepte este de \( 90^\circ \).
Prin urmare, \( m \perp x \), deci măsura unghiului dintre cele două drepte este de \( 90^\circ \).
Medie: Fie un tetraedru regulat \( VABC \) (toate fețele sunt triunghiuri echilaterale) și \( M \) mijlocul laturii \( BC \). Demonstrați că dreapta \( BC \) este perpendiculară pe planul \( (VAM) \).
Într-un triunghi echilateral, mediana este și înălțime.
În triunghiul echilateral \( ABC \), \( AM \) este mediană, deci \( AM \perp BC \).
În triunghiul echilateral \( VBC \), \( VM \) este mediană, deci \( VM \perp BC \).
Avem \( BC \perp AM \) și \( BC \perp VM \).
Cum \( AM \) și \( VM \) sunt drepte concurente (se intersectează în \( M \)) și sunt incluse în planul \( (VAM) \), rezultă conform teoremei fundamentale că \( BC \perp (VAM) \).
În triunghiul echilateral \( ABC \), \( AM \) este mediană, deci \( AM \perp BC \).
În triunghiul echilateral \( VBC \), \( VM \) este mediană, deci \( VM \perp BC \).
Avem \( BC \perp AM \) și \( BC \perp VM \).
Cum \( AM \) și \( VM \) sunt drepte concurente (se intersectează în \( M \)) și sunt incluse în planul \( (VAM) \), rezultă conform teoremei fundamentale că \( BC \perp (VAM) \).
Dificilă: Se consideră un tetraedru \( ABCD \) în care se cunosc următoarele lungimi: \( AB = 12 \text{ cm} \), \( BC = 5 \text{ cm} \), \( AC = 13 \text{ cm} \), \( BD = 16 \text{ cm} \) și \( AD = 20 \text{ cm} \). Demonstrați că \( AB \perp (BCD) \).
Pentru a demonstra că \( AB \perp (BCD) \), căutăm două drepte concurente în planul \( (BCD) \) pe care \( AB \) să fie perpendiculară. Ne folosim de lungimile date aplicând Reciproca Teoremei lui Pitagora.
1. Analizăm \( \triangle ABC \): \( 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \). Cum \( 13^2 = 169 \), avem \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), deci \( \triangle ABC \) este dreptunghic în \( B \). Rezultă \( AB \perp BC \).
2. Analizăm \( \triangle ABD \): \( 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \). Cum \( 20^2 = 400 \), avem \( AB^2 + BD^2 = AD^2 \), deci \( \triangle ABD \) este dreptunghic în \( B \). Rezultă \( AB \perp BD \).
Din \( AB \perp BC \), \( AB \perp BD \), iar \( BC \cap BD = \{B\} \), ambele fiind incluse în planul \( (BCD) \), deducem conform teoremei că \( AB \perp (BCD) \).
1. Analizăm \( \triangle ABC \): \( 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \). Cum \( 13^2 = 169 \), avem \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), deci \( \triangle ABC \) este dreptunghic în \( B \). Rezultă \( AB \perp BC \).
2. Analizăm \( \triangle ABD \): \( 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \). Cum \( 20^2 = 400 \), avem \( AB^2 + BD^2 = AD^2 \), deci \( \triangle ABD \) este dreptunghic în \( B \). Rezultă \( AB \perp BD \).
Din \( AB \perp BC \), \( AB \perp BD \), iar \( BC \cap BD = \{B\} \), ambele fiind incluse în planul \( (BCD) \), deducem conform teoremei că \( AB \perp (BCD) \).
