Lecția VII.2 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
Fie \( VABCD \) o piramidă patrulateră regulată cu înălțimea \( VO = 8 \text{ cm} \) și latura bazei \( AB = 12 \text{ cm} \).
Fie \( M \) mijlocul laturii \( BC \).
\( OM = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \)
\( VO \perp (ABC), OM \perp BC \Rightarrow VM \perp BC \Rightarrow d(V, BC) = VM \)
În \( \triangle VOM \) cu \( \text{m}(\sphericalangle VOM) = 90^\circ \):\[ VM^2 = VO^2 + OM^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]\( VM = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Identificarea elementelor piramidei și realizarea desenului
Fie \( VABCD \) o piramidă patrulateră regulată, unde: - \( V \) este vârful piramidei; - \( ABCD \) este baza piramidei (un pătrat cu latura \( AB = 12 \text{ cm} \)); - \( VO \) este înălțimea piramidei, unde \( O \) este centrul bazei (intersecția diagonalelor pătratului \( ABCD \)), deci \( VO = 8 \text{ cm} \). Distanța de la vârful piramidei \( V \) la una dintre laturile bazei (de exemplu, \( BC \)) este lungimea perpendicularei construite din \( V \) pe acea latură. Această lungime reprezintă apotema piramidei, pe care o vom nota cu \( a_p \).Se desenează o piramidă patrulateră regulată VABCD, cu baza pătratul ABCD aflat în perspectivă. Laturile AD și CD ale bazei se desenează cu linii punctate (ascunse). Latura AB se etichetează cu 12 cm. Centrul bazei O se marchează la intersecția diagonalelor AC și BD, care se desenează cu linii punctate. Vârful piramidei V se poziționează deasupra lui O. Înălțimea piramidei VO se trasează ca o linie punctată, perpendiculară pe planul bazei, și se etichetează cu 8 cm. Se alege mijlocul M al laturii BC. Se trasează segmentul OM, apotema bazei, ca o linie vizibilă, și se etichetează cu 6 cm. Se trasează segmentul VM, apotema piramidei, ca o linie vizibilă. Se marchează unghiul drept format de VO și OM la O, indicând că triunghiul VOM este dreptunghic în O.
Pasul 2: Aplicarea Teoremei celor trei perpendiculare pentru justificarea distanței
Fie \( M \) mijlocul laturii \( BC \). Deoarece triunghiul \( VBC \) este isoscel cu \( VB = VC \), mediana \( VM \) este și înălțime, deci: \[ VM \perp BC \] Prin urmare, distanța de la vârful \( V \) la latura bazei \( BC \) este lungimea segmentului \( VM \): \[ d(V, BC) = VM \] Pentru a justifica geometric poziția segmentului, observăm că: - \( VO \perp (ABC) \) - \( OM \perp BC \), unde \( OM \) este apotema pătratului \( ABCD \) - Conform Teoremei celor trei perpendiculare, rezultă că \( VM \perp BC \).Pasul 3: Calculul apotemei bazei (OM)
Punctul \( O \) este centrul pătratului \( ABCD \), iar \( M \) este mijlocul laturii \( BC \). Segmentul \( OM \) este paralel cu latura \( AB \) și are lungimea egală cu jumătate din aceasta (fiind linie mijlocie în triunghiul \( CAB \)): \[ OM = \frac{AB}{2} \] \[ OM = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \]Pasul 4: Calculul distanței VM în triunghiul dreptunghic VOM
Deoarece înălțimea \( VO \) este perpendiculară pe planul bazei, ea este perpendiculară pe orice dreaptă din plan ce trece prin piciorul ei, deci \( VO \perp OM \). Triunghiul \( VOM \) este dreptunghic în \( O \). Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul \( VOM \): \[ VM^2 = VO^2 + OM^2 \] Înlocuim valorile cunoscute: \[ VM^2 = 8^2 + 6^2 \] \[ VM^2 = 64 + 36 \] \[ VM^2 = 100 \] \[ VM = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Prin urmare, distanța de la vârful piramidei la una dintre laturile bazei este de \( 10 \text{ cm} \).Rezolvare scurtă:
\( OM = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \)
\( d(V, BC) = VM = \sqrt{VO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \)
