Cele mai importante aspecte ale lecției
O mulțime poate fi definită enumerând elementele ei între acolade (ex: \( \{1, 2, 3\} \)), desenând o diagramă Venn-Euler, sau precizând proprietatea comună a elementelor: \( M = \{x \mid x \text{ are proprietatea } p\} \). Indiferent de metodă, într-o mulțime fiecare element distinct apare o singură dată. Cardinalul reprezintă numărul de elemente, iar dacă două mulțimi nu au elemente comune, se numesc disjuncte.
O mulțime constituie o colecție bine definită de obiecte diferite, numite elementele mulțimii.
Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează cu \( \varnothing \).
Dacă elementele unei mulțimi sunt numere, aceasta este o mulțime numerică. Mulțimile numerice de bază sunt: numere naturale (\(\mathbb{N}\)), întregi (\(\mathbb{Z}\)), raționale (\(\mathbb{Q}\)) și reale (\(\mathbb{R}\)).
Cardinalul unei mulțimi finite reprezintă numărul total de elemente ale acelei mulțimi.
Într-o mulțime, un element se scrie o singură dată, chiar dacă el apare de mai multe ori în contextul din care este extras.
Mulțimea literelor din cuvântul „matematica” este \( \{m, a, t, e, i, c\} \). (Literele care se repetă au fost scrise o singură dată).
O mulțime poate fi definită în trei moduri principale:
Sintetic (prin enumerare): Scrierea tuturor elementelor între acolade, separate prin virgulă.
Exemplu: \( A = \{a, b, c, d, e\} \)
Exemplu: \( A = \{a, b, c, d, e\} \)
Prin diagramă Venn-Euler: Reprezentarea grafică a elementelor în interiorul unei linii curbe închise.
Analitic (printr-o proprietate comună): Indicarea unei proprietăți caracteristice pe care o îndeplinesc toate elementele mulțimii (vezi secțiunea următoare).
Pentru mulțimile cu un număr mare de elemente sau cele infinite, este mai eficient să definim mulțimea precizând proprietatea comună a elementelor sale.
\[ M = \{x \mid x \text{ are proprietatea } p\} \]
Se citește: „M este mulțimea tuturor elementelor x care au proprietatea p”.
Dacă există mai multe proprietăți, ele se separă prin virgulă sau prin conjuncția „și”. Pentru simplificarea scrierii, apartenența la o mulțime numerică se poate scrie înaintea barei verticale.
Fie mulțimea \( B = \{0, 10, 20, 30, 40, \dots \} \).
Scrisă printr-o proprietate comună, aceasta poate fi:
\( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \vdots 10\} \) (x este număr natural și se împarte exact la 10)
sau \( B = \{10n \mid n \in \mathbb{N}\} \).
Scrisă printr-o proprietate comună, aceasta poate fi:
\( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \vdots 10\} \) (x este număr natural și se împarte exact la 10)
sau \( B = \{10n \mid n \in \mathbb{N}\} \).
Scrieți, prin enumerarea elementelor, mulțimea \( C = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este pătrat perfect și } x < 30\} \).
Pătratele perfecte mai mici decât 30 sunt: \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(4^2=16\), \(5^2=25\).
Răspuns: \( C = \{0, 1, 4, 9, 16, 25\} \).
Răspuns: \( C = \{0, 1, 4, 9, 16, 25\} \).
Două mulțimi se numesc disjuncte dacă nu au niciun element comun (intersecția lor este mulțimea vidă: \( A \cap B = \varnothing \)).
Fie \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) (numere pare) și \( B = \{1, 3, 5, 7\} \) (numere impare).
Deoarece nu există niciun număr care să fie în același timp și par și impar, \( A \cap B = \varnothing \). Așadar, mulțimile A și B sunt disjuncte.
Deoarece nu există niciun număr care să fie în același timp și par și impar, \( A \cap B = \varnothing \). Așadar, mulțimile A și B sunt disjuncte.
Exerciții
Ușoară: Scrie, prin enumerarea elementelor, mulțimea \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid 3 \leq x < 8\} \).
Trebuie să găsim numerele naturale mai mari sau egale cu 3, dar strict mai mici decât 8. Acestea sunt 3, 4, 5, 6 și 7.
Răspuns: \( A = \{3, 4, 5, 6, 7\} \).
Răspuns: \( A = \{3, 4, 5, 6, 7\} \).
Medie: Scrie mulțimea literelor din cuvântul „paralelogram” prin enumerarea elementelor și determină cardinalul acestei mulțimi.
Eliminăm literele care se repetă (a, r, l).
Mulțimea este: \( M = \{p, a, r, l, e, o, g, m\} \).
Numărăm elementele din mulțimea obținută: sunt 8 elemente distincte.
Răspuns: \( M = \{p, a, r, l, e, o, g, m\} \), iar cardinalul mulțimii este 8.
Mulțimea este: \( M = \{p, a, r, l, e, o, g, m\} \).
Numărăm elementele din mulțimea obținută: sunt 8 elemente distincte.
Răspuns: \( M = \{p, a, r, l, e, o, g, m\} \), iar cardinalul mulțimii este 8.
Dificilă: Se dau mulțimile:
\( A = \{n \in \mathbb{N}^* \mid n < 4\} \) și
\( B = \{x \mid x = 3^a \text{ și } a \in A\} \).
a) Determinați elementele mulțimilor A și B.
b) Arătați că mulțimile B și \( C = \{2k \mid k \in \mathbb{N}\} \) sunt disjuncte.
\( A = \{n \in \mathbb{N}^* \mid n < 4\} \) și
\( B = \{x \mid x = 3^a \text{ și } a \in A\} \).
a) Determinați elementele mulțimilor A și B.
b) Arătați că mulțimile B și \( C = \{2k \mid k \in \mathbb{N}\} \) sunt disjuncte.
a) \( \mathbb{N}^* \) reprezintă numerele naturale nenule (fără zero). Numerele strict mai mici decât 4 sunt 1, 2 și 3. Deci, \( A = \{1, 2, 3\} \).
Pentru mulțimea B, calculăm \( 3^a \) folosind elementele din A: \( 3^1=3 \), \( 3^2=9 \), \( 3^3=27 \). Deci, \( B = \{3, 9, 27\} \).
b) Mulțimea C conține numerele de forma \( 2k \) (toate numerele naturale pare). Observăm că toate elementele mulțimii B (3, 9, 27) sunt numere impare. Deoarece nu există elemente comune, intersecția lor este vidă (\( B \cap C = \varnothing \)), deci mulțimile sunt disjuncte.
Pentru mulțimea B, calculăm \( 3^a \) folosind elementele din A: \( 3^1=3 \), \( 3^2=9 \), \( 3^3=27 \). Deci, \( B = \{3, 9, 27\} \).
b) Mulțimea C conține numerele de forma \( 2k \) (toate numerele naturale pare). Observăm că toate elementele mulțimii B (3, 9, 27) sunt numere impare. Deoarece nu există elemente comune, intersecția lor este vidă (\( B \cap C = \varnothing \)), deci mulțimile sunt disjuncte.
Dificilă: Determinați, prin enumerarea elementelor, mulțimea perechilor ordonate de numere naturale care au suma egală cu 4. Definiți această mulțime analitic înainte de rezolvare.
Definiția analitică: \( P = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \text{ și } a + b = 4\} \).
Căutăm valorile naturale posibile care adunate dau 4:
\(0+4=4 \rightarrow (0, 4)\)
\(1+3=4 \rightarrow (1, 3)\)
\(2+2=4 \rightarrow (2, 2)\)
\(3+1=4 \rightarrow (3, 1)\)
\(4+0=4 \rightarrow (4, 0)\)
Răspuns: \( P = \{(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\} \).
Căutăm valorile naturale posibile care adunate dau 4:
\(0+4=4 \rightarrow (0, 4)\)
\(1+3=4 \rightarrow (1, 3)\)
\(2+2=4 \rightarrow (2, 2)\)
\(3+1=4 \rightarrow (3, 1)\)
\(4+0=4 \rightarrow (4, 0)\)
Răspuns: \( P = \{(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\} \).
