Lecția VI.0 conține următoarele grupuri de exerciții:
VI.0. Autoevaluare
VI.0. Ce Știu Deja? Verific! Partea I
VI.0. Ce Știu Deja? Verific! Partea II
VI.0. Ce Știu Deja? Verific! Partea III
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( GD \perp p, D \in p \implies \text{pr}_{p}(G) = D \)
\( HE \perp p, E \in p \implies \text{pr}_{p}(H) = E \)
\( \text{pr}_{p}(GH) = [\text{pr}_{p}(G)\text{pr}_{p}(H)] = DE \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Înțelegerea noțiunii de proiecție ortogonală a unui segment pe o dreaptă
Proiecția ortogonală a unui segment \( GH \) pe o dreaptă \( p \) este segmentul determinat de proiecțiile ortogonale ale capetelor sale, adică ale punctelor \( G \) și \( H \), pe dreapta \( p \).Pasul 2: Determinarea proiecției punctului \( G \) pe dreapta \( p \)
Analizând desenul atașat pentru prima problemă din secțiunea "Proiecții pe o dreaptă": - Din punctul \( G \) este coborâtă o perpendiculară pe dreapta \( p \). - Această perpendiculară intersectează dreapta \( p \) în punctul \( D \), așa cum indică unghiul drept marcat la baza segmentului \( GD \) pe dreapta \( p \). - Prin urmare, proiecția punctului \( G \) pe dreapta \( p \) este punctul \( D \): \[ \text{pr}_{p}(G) = D \]Pasul 3: Determinarea proiecției punctului \( H \) pe dreapta \( p \)
La fel, analizăm perpendiculara coborâtă din celălalt capăt al segmentului, respectiv punctul \( H \): - Din punctul \( H \) este coborâtă o perpendiculară pe dreapta \( p \). - Această perpendiculară intersectează dreapta \( p \) în punctul \( E \), fapt indicat de marcajul unghiului drept la baza segmentului \( HE \) pe dreapta \( p \). - Prin urmare, proiecția punctului \( H \) pe dreapta \( p \) este punctul \( E \): \[ \text{pr}_{p}(H) = E \]Pasul 4: Concluzia privind proiecția segmentului \( GH \)
Deoarece proiecția punctului \( G \) pe dreapta \( p \) este \( D \), iar proiecția punctului \( H \) pe dreapta \( p \) este \( E \), rezultă că proiecția segmentului \( GH \) pe dreapta \( p \) este segmentul determinat de aceste două puncte, adică segmentul \( DE \): \[ \text{pr}_{p}(GH) = DE \]Rezolvare scurtă:
\( GD \perp p \implies \text{pr}_{p}(G) = D \)
\( HE \perp p \implies \text{pr}_{p}(H) = E \)
\( \text{pr}_{p}(GH) = DE \)
