Cele mai importante aspecte ale lecției
Descompunerea în factori constă în scrierea unei sume/diferențe algebrice sub formă de produs. Metodele principale sunt scoaterea factorului comun (ex: \( 2x^2 + 4x = 2x(x+2) \)), formulele de calcul prescurtat (ex: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \)) și gruparea termenilor.
Fracția algebrică este un raport de expresii \( \frac{P(x)}{Q(x)} \). Aceasta există (este definită) doar dacă numitorul este strict nenul (\( Q(x) \neq 0 \)), această condiție determinând domeniul de definiție.
Fracția algebrică este un raport de expresii \( \frac{P(x)}{Q(x)} \). Aceasta există (este definită) doar dacă numitorul este strict nenul (\( Q(x) \neq 0 \)), această condiție determinând domeniul de definiție.
Descompunerea în factori a unei expresii algebrice este operația de transformare a expresiei într-un produs de doi sau mai mulți factori.
Operația se consideră, de obicei, încheiată atunci când niciun factor nu mai poate fi descompus într-un alt produs.
Pentru a realiza descompunerea se pot folosi, individual sau combinat, următoarele metode: metoda factorului comun, metoda formulelor de calcul prescurtat și metoda grupării termenilor.
Această metodă are la bază proprietatea de distributivitate a înmulțirii numerelor reale față de operațiile de adunare și de scădere.
Pentru orice numere reale \( a, x, y \):
\[ ax + ay = a(x + y) \]
\[ ax - ay = a(x - y) \]
Expresia identificată ca fiind factor comun trebuie să se afle în toți termenii sumei algebrice. De exemplu, scrierea \( x^2 + 3x + 2 = x(x + 3) + 2 \) nu constituie o descompunere în factori, deoarece rezultatul obținut este o sumă, nu un produs.
Pentru expresia \( 3x^2 - 12x \), factorul comun este \( 3x \). Extrăgând factorul comun, obținem: \( 3x(x - 4) \).
Această metodă presupune folosirea inversă a formulelor de calcul prescurtat învățate pentru a transforma o sumă sau o diferență direct într-un produs de factori.
Diferența de pătrate:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Restrângerea pătratului unui binom:
\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]
Aplicând diferența de pătrate pentru \( 4x^2 - 9 \):
\( 4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) \)
\( 4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) \)
Metoda constă în asocierea convenabilă a termenilor unei expresii (în grupuri), astfel încât să se poată identifica ulterior un factor comun întregilor grupe formate.
Se grupează termenii și se scoate factorul comun din fiecare grupă.
Se identifică un nou factor comun global (o paranteză) și se extrage pentru a finaliza produsul.
Descompunerea expresiei \( ax + ay + bx + by \):
Asociem primii doi și ultimii doi termeni: \( (ax + ay) + (bx + by) \)
Extragem factorii pe grupe: \( a(x + y) + b(x + y) \)
Extragem noul factor comun \( (x + y) \): \( (x + y)(a + b) \)
Asociem primii doi și ultimii doi termeni: \( (ax + ay) + (bx + by) \)
Extragem factorii pe grupe: \( a(x + y) + b(x + y) \)
Extragem noul factor comun \( (x + y) \): \( (x + y)(a + b) \)
Se numește fracție algebrică un raport în care termenii sunt expresii algebrice care depind de una sau de mai multe variabile.
Se notează în funcție de variabile, de exemplu: \( F(x) = \frac{x + 2}{x - 2} \) sau \( F(t) = \frac{1}{4 - t^2} \).
O fracție algebrică are sens (este definită) doar pentru acele numere reale pentru care numitorul este diferit de zero.
Pentru fracția algebrică \( F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), domeniul de definiție este mulțimea:
\[ \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\} \]
Pentru fracția \( F(x) = \frac{2x}{x - 5} \), condiția de existență este \( x - 5 \neq 0 \), deci \( x \neq 5 \). Domeniul de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \).
Probleme de practică
Ușoară: Descompuneți în factori expresia: \( 6x^2 + 18x \).
Aplicăm metoda factorului comun. Observăm că ambii termeni se împart la \( 6x \).
\( 6x^2 + 18x = 6x \cdot x + 6x \cdot 3 = 6x(x + 3) \).
\( 6x^2 + 18x = 6x \cdot x + 6x \cdot 3 = 6x(x + 3) \).
Medie: Determinați domeniul de definiție pentru fracția algebrică \( F(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 16} \).
O fracție algebrică este definită dacă numitorul este diferit de zero: \( x^2 - 16 \neq 0 \).
Descompunem numitorul folosind formula diferenței de pătrate: \( (x - 4)(x + 4) \neq 0 \).
Așadar, \( x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \) și \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \).
Domeniul de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \).
Descompunem numitorul folosind formula diferenței de pătrate: \( (x - 4)(x + 4) \neq 0 \).
Așadar, \( x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \) și \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \).
Domeniul de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \).
Dificilă: Descompuneți în factori expresia algebrică: \( x^3 - 6x^2 + 9x \).
Folosim mai multe metode combinat.
1. Identificăm factorul comun \( x \) din toți termenii: \( x(x^2 - 6x + 9) \).
2. Analizăm expresia din paranteză. Observăm că este restrângerea pătratului unui binom: \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \), unde \( a=x \) și \( b=3 \).
3. Deci, \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \).
Rezultatul final al descompunerii este: \( x(x - 3)^2 \).
1. Identificăm factorul comun \( x \) din toți termenii: \( x(x^2 - 6x + 9) \).
2. Analizăm expresia din paranteză. Observăm că este restrângerea pătratului unui binom: \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \), unde \( a=x \) și \( b=3 \).
3. Deci, \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \).
Rezultatul final al descompunerii este: \( x(x - 3)^2 \).
