Cele mai importante aspecte ale lecției
Ecuația \(ax^2 + bx + c = 0\) (unde \(a \neq 0\)) se rezolvă calculând discriminantul:
\(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Dacă \(\Delta > 0\): există 2 soluții: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\). Expresia se descompune ca \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
- Dacă \(\Delta = 0\): există o soluție dublă: \(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\). Expresia se descompune ca \(a(x-x_1)^2\).
- Dacă \(\Delta < 0\): ecuația nu are soluții reale. Expresia nu se poate descompune.
Forma generală: \( ax^2 + bx + c = 0 \), unde \( a, b, c \in \mathbb{R} \) și \( a \neq 0 \).
- \( a, b, c \) se numesc coeficienți.
- \( x \) este necunoscuta.
- Un număr real \( \alpha \) este soluție (rădăcină) dacă verifică egalitatea: \( a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 \).
O ecuație de gradul al doilea are cel mult două soluții reale. A rezolva ecuația înseamnă a-i determina toate soluțiile.
Două ecuații de gradul al doilea sunt echivalente (au aceleași soluții) dacă și numai dacă coeficienții lor sunt proporționali:
\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \]
Când unul sau ambii coeficienți \( b \) și \( c \) sunt zero, ecuația se numește incompletă și se poate rezolva prin metode mai simple:
Lipseste termenul în \(x\) (\(b = 0, c \neq 0\)): Ecuația devine \( ax^2 + c = 0 \).
Se obține \( x^2 = -\frac{c}{a} \).
- Dacă \( -\frac{c}{a} > 0 \), soluțiile sunt \( x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \).
- Dacă \( -\frac{c}{a} < 0 \), ecuația nu are soluții reale.
Se obține \( x^2 = -\frac{c}{a} \).
- Dacă \( -\frac{c}{a} > 0 \), soluțiile sunt \( x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \).
- Dacă \( -\frac{c}{a} < 0 \), ecuația nu are soluții reale.
Lipsește termenul liber (\(c = 0, b \neq 0\)): Ecuația devine \( ax^2 + bx = 0 \).
Se dă factor comun \(x\): \( x(ax + b) = 0 \).
Soluțiile sunt \( x_1 = 0 \) și \( x_2 = -\frac{b}{a} \).
Se dă factor comun \(x\): \( x(ax + b) = 0 \).
Soluțiile sunt \( x_1 = 0 \) și \( x_2 = -\frac{b}{a} \).
Ambele lipsesc (\(b = 0, c = 0\)): Ecuația devine \( ax^2 = 0 \).
Are o singură soluție (dublă): \( x_1 = x_2 = 0 \).
Are o singură soluție (dublă): \( x_1 = x_2 = 0 \).
Rezolvați ecuația \( 3x^2 - 12x = 0 \).
Dăm factor comun pe \( 3x \): \( 3x(x - 4) = 0 \).
Egalăm fiecare factor cu zero:
1) \( 3x = 0 \implies x_1 = 0 \)
2) \( x - 4 = 0 \implies x_2 = 4 \)
Soluții: \( S = \{0, 4\} \).
Egalăm fiecare factor cu zero:
1) \( 3x = 0 \implies x_1 = 0 \)
2) \( x - 4 = 0 \implies x_2 = 4 \)
Soluții: \( S = \{0, 4\} \).
Pentru ecuația completă \( ax^2 + bx + c = 0 \), rezolvarea generală se face calculând discriminantul (notat cu litera grecească delta).
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
În funcție de valoarea lui \( \Delta \), avem trei situații:
| Semnul lui \(\Delta\) | Numărul de soluții reale | Formulele soluțiilor |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | Două soluții distincte | \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) |
| \(\Delta = 0\) | O soluție dublă | \( x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} \) |
| \(\Delta < 0\) | Nu există soluții reale | - |
Pentru ecuația \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):
\( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
Deoarece \( \Delta > 0 \), avem două soluții:
\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5+1}{2} = 3 \)
\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5-1}{2} = 2 \)
\( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
Deoarece \( \Delta > 0 \), avem două soluții:
\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5+1}{2} = 3 \)
\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5-1}{2} = 2 \)
Dacă se cunosc soluțiile ecuației de gradul al doilea \( ax^2 + bx + c = 0 \), expresia algebrică se poate scrie sub formă de produs (descompunere în factori).
Pentru \(\Delta > 0\): \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
unde \( x_1 \) și \( x_2 \) sunt soluțiile ecuației.
- Dacă \(\Delta = 0\), formula devine: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2 \).
- Dacă \(\Delta < 0\), expresia algebrică nu se poate descompune peste mulțimea numerelor reale.
Probleme de antrenament
Ușoară: Rezolvați ecuația \( x^2 - 7x + 10 = 0 \).
Identificăm coeficienții: \( a = 1, b = -7, c = 10 \).
Calculăm discriminantul: \( \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).
\( \Delta > 0 \implies \) două soluții reale.
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \).
\( x_1 = \frac{10}{2} = 5 \) și \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \).
S = {2, 5}.
Calculăm discriminantul: \( \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).
\( \Delta > 0 \implies \) două soluții reale.
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \).
\( x_1 = \frac{10}{2} = 5 \) și \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \).
S = {2, 5}.
Medie: Determinați valoarea numărului real \( m \), știind că ecuația \( x^2 + mx + 9 = 0 \) are o soluție reală dublă.
O ecuație are soluție dublă dacă și numai dacă \( \Delta = 0 \).
\( \Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = m^2 - 36 \).
Punem condiția \( m^2 - 36 = 0 \implies m^2 = 36 \).
Extrăgând radicalul, obținem \( m = 6 \) sau \( m = -6 \).
\( \Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = m^2 - 36 \).
Punem condiția \( m^2 - 36 = 0 \implies m^2 = 36 \).
Extrăgând radicalul, obținem \( m = 6 \) sau \( m = -6 \).
Medie: Descompuneți în factori expresia algebrică \( 2x^2 + 5x - 3 \).
1. Aflăm rădăcinile ecuației \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \).
\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).
\( x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4} \). Astfel, \( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) și \( x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \).
2. Aplicăm formula de descompunere: \( a(x - x_1)(x - x_2) \).
\( 2(x - \frac{1}{2})(x - (-3)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) \).
Dacă introducem factorul 2 în prima paranteză, obținem: \( (2x - 1)(x + 3) \).
\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).
\( x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4} \). Astfel, \( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) și \( x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \).
2. Aplicăm formula de descompunere: \( a(x - x_1)(x - x_2) \).
\( 2(x - \frac{1}{2})(x - (-3)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) \).
Dacă introducem factorul 2 în prima paranteză, obținem: \( (2x - 1)(x + 3) \).
Dificilă: Produsul a două numere naturale pare consecutive este 48. Aflați numerele folosind o ecuație de gradul al doilea.
Fie primul număr par \( 2x \). Următorul număr par consecutiv este \( 2x + 2 \).
Ecuația este: \( 2x(2x + 2) = 48 \).
Împărțim prin 2 ambele membre: \( x(2x + 2) = 24 \implies 2x^2 + 2x - 24 = 0 \).
Mai împărțim o dată prin 2: \( x^2 + x - 12 = 0 \).
Calculăm \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).
\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \). \( x_1 = 3 \) și \( x_2 = -4 \).
Deoarece căutăm numere naturale, reținem \( x = 3 \).
Numerele căutate sunt \( 2 \cdot 3 = \mathbf{6} \) și \( 2 \cdot 3 + 2 = \mathbf{8} \).
Ecuația este: \( 2x(2x + 2) = 48 \).
Împărțim prin 2 ambele membre: \( x(2x + 2) = 24 \implies 2x^2 + 2x - 24 = 0 \).
Mai împărțim o dată prin 2: \( x^2 + x - 12 = 0 \).
Calculăm \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).
\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \). \( x_1 = 3 \) și \( x_2 = -4 \).
Deoarece căutăm numere naturale, reținem \( x = 3 \).
Numerele căutate sunt \( 2 \cdot 3 = \mathbf{6} \) și \( 2 \cdot 3 + 2 = \mathbf{8} \).
