Cele mai importante aspecte ale lecției
Definiția funcției: \( f: A \rightarrow B \). Fiecărui element \( x \) din domeniul \( A \) îi corespunde un singur element \( y = f(x) \) din codomeniul \( B \).
Reprezentare: Tabelar, prin diagrame cu săgeți sau prin formule matematice (analitic).
Imaginea funcției: Mulțimea tuturor valorilor \( f(x) \) rezultate; este o submulțime a codomeniului.
Domeniul maximal de definiție: Cea mai mare mulțime de numere pe care o formulă este validă matematic (de ex., se elimină valorile pentru care numitorul unei fracții se anulează).
Reprezentare: Tabelar, prin diagrame cu săgeți sau prin formule matematice (analitic).
Imaginea funcției: Mulțimea tuturor valorilor \( f(x) \) rezultate; este o submulțime a codomeniului.
Domeniul maximal de definiție: Cea mai mare mulțime de numere pe care o formulă este validă matematic (de ex., se elimină valorile pentru care numitorul unei fracții se anulează).
O funcție este un triplet \( (A, B, f) \), unde \( A \) și \( B \) sunt două mulțimi nevide, iar \( f \) este o corespondență prin care fiecărui element din \( A \) i se asociază un singur element din \( B \).
Scriem \( f: A \rightarrow B \) (citim „funcția \( f \) definită pe \( A \) cu valori în \( B \)”).
- Mulțimea \( A \) se numește domeniul de definiție.
- Mulțimea \( B \) se numește codomeniul.
- Procedeul (regula) \( f \) se numește lege de corespondență.
Dacă \( x \) este un element din \( A \), elementul asociat lui din \( B \) se notează cu \( y = f(x) \) și spunem că \( y \) este imaginea lui \( x \) prin funcția \( f \) sau valoarea funcției în punctul \( x \).
Două funcții sunt egale dacă au același domeniu de definiție, același codomeniu și aceeași lege de corespondență.
Dacă domeniul de definiție este o mulțime finită, funcția se poate reprezenta vizual în două moduri principale:
- Printr-un tabel: Pe prima linie apar toate elementele domeniului, iar pe a doua linie apar valorile corespunzătoare acestora.
- Cu ajutorul diagramelor: Se desenează cele două mulțimi, iar de la fiecare element al domeniului pleacă o săgeată către un element al codomeniului.
Imaginea funcției (sau mulțimea valorilor funcției), notată \( Im f \), reprezintă submulțimea codomeniului formată doar din elementele care corespund efectiv (sunt „atinse” de săgeți) unor elemente din domeniu. \( Im f \subseteq B \).
Într-o funcție, nu este obligatoriu ca în fiecare element din codomeniu să ajungă o săgeată. De asemenea, pot exista mai multe săgeți care ajung în același element din codomeniu.
O funcție numerică este o funcție care are atât domeniul de definiție, cât și codomeniul submulțimi ale mulțimii numerelor reale (\( \mathbb{R} \)).
Legea de corespondență a unei funcții numerice se exprimă de obicei analitic, adică printr-o formulă (expresie algebrică). Exemplu: \( f(x) = x^3 - 2x + 1 \).
Domeniul maximal de definiție este cea mai mare submulțime a lui \( \mathbb{R} \) pentru care expresia algebrică a funcției are sens (poate fi calculată).
Dacă se dă expresia \( \frac{x}{x^2 - 1} \), aceasta nu poate fi calculată dacă numitorul este zero.
Egalând numitorul cu zero: \( x^2 - 1 = 0 \implies x = -1 \) sau \( x = 1 \).
Așadar, domeniul maximal de definiție va exclude aceste valori, scriindu-se: \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \). Funcția se definește astfel: \( f: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} \).
Exerciții
Ușoară: Se consideră funcția \( f \) reprezentată prin tabelul de mai jos:
Care este domeniul de definiție al funcției și care este mulțimea valorilor sale (imaginea)?
| \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | -1 | 1 | -1 | 1 |
Domeniul de definiție este mulțimea valorilor de pe prima linie: \( A = \{0, 1, 2, 3\} \).
Imaginea funcției (mulțimea valorilor) este formată din valorile distincte de pe a doua linie: \( Im f = \{-1, 1\} \).
Imaginea funcției (mulțimea valorilor) este formată din valorile distincte de pe a doua linie: \( Im f = \{-1, 1\} \).
Medie: Se dă funcția \( f: \{-2, -1, 0, 1, 2\} \rightarrow \mathbb{R} \), definită prin formula \( f(x) = 2x + 2 \). Calculați valoarea expresiei \( f(-2) - f(2) \).
Calculăm imaginile celor două puncte înlocuind pe \( x \) în formulă:
\( f(-2) = 2 \cdot (-2) + 2 = -4 + 2 = -2 \)
\( f(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6 \)
Calculăm diferența: \( f(-2) - f(2) = -2 - 6 = -8 \).
Răspuns: \( -8 \)
\( f(-2) = 2 \cdot (-2) + 2 = -4 + 2 = -2 \)
\( f(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6 \)
Calculăm diferența: \( f(-2) - f(2) = -2 - 6 = -8 \).
Răspuns: \( -8 \)
Dificilă: Stabiliți domeniul maximal de definiție al unei funcții numerice a cărei lege de corespondență este asociată expresiei: \( f(x) = \frac{1}{x^3 - x} \).
Pentru ca o expresie care conține o fracție să aibă sens, numitorul trebuie să fie strict diferit de zero.
Rezolvăm ecuația: \( x^3 - x = 0 \).
Dăm factor comun pe \( x \): \( x(x^2 - 1) = 0 \).
Acest produs este zero dacă \( x = 0 \) sau \( x^2 - 1 = 0 \).
Ecuația \( x^2 - 1 = 0 \) are soluțiile \( x = -1 \) și \( x = 1 \).
Deci, expresia nu are sens pentru valorile \( \{-1, 0, 1\} \).
Răspuns: Domeniul maximal de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\} \).
Rezolvăm ecuația: \( x^3 - x = 0 \).
Dăm factor comun pe \( x \): \( x(x^2 - 1) = 0 \).
Acest produs este zero dacă \( x = 0 \) sau \( x^2 - 1 = 0 \).
Ecuația \( x^2 - 1 = 0 \) are soluțiile \( x = -1 \) și \( x = 1 \).
Deci, expresia nu are sens pentru valorile \( \{-1, 0, 1\} \).
Răspuns: Domeniul maximal de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\} \).
