Cele mai importante aspecte ale lecției
Definiția graficului: Mulțimea \( G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in A\} \).
Condiția de apartenență: Un punct \( M(x, y) \in G_f \) dacă și numai dacă \( y = f(x) \). Ex: \( (3, 5) \in G_f \iff f(3)=5 \).
Intersecția cu Oy: Se face calculând \( f(0) \). Punctul obținut este \( (0, f(0)) \).
Intersecția cu Ox: Se face rezolvând \( f(x) = 0 \). Punctul obținut este \( (x, 0) \).
Particularitate: Graficul funcțiilor de forma \( f(x)=ax+b \) pe domenii finite este constituit din puncte separate, dar perfect coliniare. Nu pot exista două puncte pe grafic cu aceeași abscisă (pe o verticală).
Condiția de apartenență: Un punct \( M(x, y) \in G_f \) dacă și numai dacă \( y = f(x) \). Ex: \( (3, 5) \in G_f \iff f(3)=5 \).
Intersecția cu Oy: Se face calculând \( f(0) \). Punctul obținut este \( (0, f(0)) \).
Intersecția cu Ox: Se face rezolvând \( f(x) = 0 \). Punctul obținut este \( (x, 0) \).
Particularitate: Graficul funcțiilor de forma \( f(x)=ax+b \) pe domenii finite este constituit din puncte separate, dar perfect coliniare. Nu pot exista două puncte pe grafic cu aceeași abscisă (pe o verticală).
Pentru o funcție \( f: A \rightarrow B \), graficul funcției este mulțimea tuturor perechilor ordonate formate dintr-un element din domeniu și imaginea sa.
\[ G_f = \{(x, y) \in A \times B \mid y = f(x)\} = \{(x, f(x)) \mid x \in A\} \]
Graficul are la fel de multe elemente ca și domeniul de definiție \( A \), deoarece funcția asociază fiecărui element din \( A \) o singură valoare din \( B \).
Domeniul și codomeniul nu trebuie să fie neapărat mulțimi de numere (pot fi obiecte, figuri geometrice etc.).
Fie \( A = \{1, 2, 3\} \) și funcția \( f: A \rightarrow \mathbb{N} \), definită prin \( f(x) = x + 2 \).
Valorile funcției sunt: \( f(1) = 3 \), \( f(2) = 4 \), \( f(3) = 5 \).
Graficul va fi: \( G_f = \{(1, 3); (2, 4); (3, 5)\} \).
Valorile funcției sunt: \( f(1) = 3 \), \( f(2) = 4 \), \( f(3) = 5 \).
Graficul va fi: \( G_f = \{(1, 3); (2, 4); (3, 5)\} \).
Pentru funcțiile numerice (unde \( A, B \subseteq \mathbb{R} \)), perechile din \( G_f \) pot fi reprezentate ca puncte într-un sistem de axe ortogonale \( xOy \). Aceasta se numește reprezentarea geometrică a graficului.
Un punct \( M(a, b) \) aparține graficului funcției \( f \) dacă și numai dacă abscisa \( a \) aparține domeniului și ordonata \( b \) este egală cu valoarea funcției în \( a \):
\[ M(a, b) \in G_f \iff a \in A \text{ și } f(a) = b \]
Graficul unei funcții nu poate conține două sau mai multe puncte situate pe aceeași dreaptă verticală! Din acest motiv, o figură precum un cerc sau un triunghi complet nu poate fi graficul unei funcții.
Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 3x - 2 \). Verificați dacă punctul \( M(2, 4) \) aparține graficului funcției \( f \).
Calculăm valoarea funcției pentru \( x = 2 \):
\( f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4 \).
Deoarece \( f(2) = 4 \), care este exact ordonata punctului \( M \), deducem că \( M(2, 4) \in G_f \).
\( f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4 \).
Deoarece \( f(2) = 4 \), care este exact ordonata punctului \( M \), deducem că \( M(2, 4) \in G_f \).
Cunoașterea punctelor în care graficul taie axele \( Ox \) și \( Oy \) este esențială pentru trasarea rapidă a acestuia.
Punctele situate pe axa \( Oy \) au abscisa \( x = 0 \). Pentru a găsi intersecția, se calculează \( f(0) \). Punctul va fi \( A(0, f(0)) \).
Punctele situate pe axa \( Ox \) au ordonata \( y = 0 \). Se rezolvă ecuația \( f(x) = 0 \). Punctul (sau punctele) va fi \( B(x, 0) \).
Fie \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x - 4 \).
Axa Oy: Calculăm \( f(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \). Punctul este \( A(0, -4) \).
Axa Ox: Rezolvăm \( 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \). Punctul este \( B(2, 0) \).
Axa Oy: Calculăm \( f(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \). Punctul este \( A(0, -4) \).
Axa Ox: Rezolvăm \( 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \). Punctul este \( B(2, 0) \).
Funcțiile de forma \( f(x) = ax + b \) cu \( a, b \in \mathbb{R} \) descriu dependențe în care valorile cresc sau descresc cu o rație constantă.
Dacă domeniul de definiție \( D \) este o mulțime finită de numere reale, graficul funcției \( f(x) = ax + b \) este format dintr-un număr finit de puncte izolate care sunt coliniare (situate pe aceeași dreaptă).
Exerciții
Ușoară: Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa \( Oy \) pentru graficul funcției \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = -5x + 7 \).
Intersecția cu axa \( Oy \) presupune că \( x = 0 \).
Calculăm: \( f(0) = -5 \cdot 0 + 7 = 7 \).
Răspuns: Punctul este \( (0, 7) \).
Calculăm: \( f(0) = -5 \cdot 0 + 7 = 7 \).
Răspuns: Punctul este \( (0, 7) \).
Medie: Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 4x + a \). Determinați numărul real \( a \), știind că punctul \( P(1, 9) \) aparține graficului funcției.
Condiția ca \( P(1, 9) \in G_f \) este ca \( f(1) = 9 \).
Înlocuim \( x \) cu 1 în legea funcției: \( f(1) = 4 \cdot 1 + a = 4 + a \).
Egalăm cu 9: \( 4 + a = 9 \implies a = 9 - 4 \implies a = 5 \).
Răspuns: \( a = 5 \).
Înlocuim \( x \) cu 1 în legea funcției: \( f(1) = 4 \cdot 1 + a = 4 + a \).
Egalăm cu 9: \( 4 + a = 9 \implies a = 9 - 4 \implies a = 5 \).
Răspuns: \( a = 5 \).
Dificilă: Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x - 3 \). Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și calculați aria triunghiului format de graficul funcției cu axele \( Ox \) și \( Oy \).
1. Intersecția cu axa Oy: \( x = 0 \implies f(0) = -3 \). Punctul este \( A(0, -3) \).
2. Intersecția cu axa Ox: \( f(x) = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3 \). Punctul este \( B(3, 0) \).
3. Aria triunghiului: Triunghiul format de grafic cu axele este dreptunghic în originea \( O(0,0) \).
Catetele sunt segmentele \( OA \) și \( OB \). Lungimile lor sunt modulele coordonatelor nenule: \( OA = |-3| = 3 \) și \( OB = |3| = 3 \).
Aria = \( \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \).
Răspuns: \( A(0, -3) \), \( B(3, 0) \), Aria = \( 4,5 \).
2. Intersecția cu axa Ox: \( f(x) = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3 \). Punctul este \( B(3, 0) \).
3. Aria triunghiului: Triunghiul format de grafic cu axele este dreptunghic în originea \( O(0,0) \).
Catetele sunt segmentele \( OA \) și \( OB \). Lungimile lor sunt modulele coordonatelor nenule: \( OA = |-3| = 3 \) și \( OB = |3| = 3 \).
Aria = \( \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \).
Răspuns: \( A(0, -3) \), \( B(3, 0) \), Aria = \( 4,5 \).
