Cele mai importante aspecte ale lecției
Corpurile geometrice studiate sunt poliedre mărginite de baze și fețe laterale:
- Prisma dreaptă: Fețe laterale dreptunghiuri și baze poligoane congruente. (ex: cutie triunghiulară).
- Paralelipipedul dreptunghic: Caz special de prismă unde toate cele 6 fețe sunt dreptunghiuri (ex: o cărămidă).
- Cubul: Caz special de paralelipiped unde toate cele 6 fețe sunt pătrate congruente (ex: un zar).
O prismă dreaptă este un poliedru care are două baze poligoane congruente și fețele laterale dreptunghiuri.
O prismă dreaptă ale cărei baze sunt poligoane regulate se numește prismă regulată.
În funcție de numărul de laturi ale unei baze, prismele drepte se numesc: triunghiulare (baza este un triunghi), patrulatere (baza este un patrulater), pentagonale, hexagonale etc.
Dacă baza unei prisme drepte este un triunghi echilateral, figura se numește prismă triunghiulară regulată.
Vârfurile: Punctele în care se întâlnesc muchiile prismei.
Muchiile: Segmentele care delimitează fețele. Există două tipuri:
- muchii laterale: sunt paralele și egale între ele;
- muchiile bazelor: laturile poligoanelor de la bază.
Fețele: Suprafețele plane care mărginesc prisma. Acestea sunt:
- fețe laterale: întotdeauna dreptunghiuri (la prisma dreaptă);
- baze: două poligoane congruente și paralele.
Diagonala prismei: Segmentul determinat de două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.
Prisma triunghiulară nu are diagonale, deoarece orice două vârfuri aparțin cel puțin unei fețe comune.
Câte vârfuri, muchii și fețe are o prismă hexagonală dreaptă?
Baza este un hexagon (6 laturi, 6 vârfuri).
Vârfuri: 6 (baza inferioară) + 6 (baza superioară) = 12 vârfuri.
Muchii: 6 (baza inferioară) + 6 (baza superioară) + 6 (laterale) = 18 muchii.
Fețe: 2 (baze) + 6 (fețe laterale) = 8 fețe.
Vârfuri: 6 (baza inferioară) + 6 (baza superioară) = 12 vârfuri.
Muchii: 6 (baza inferioară) + 6 (baza superioară) + 6 (laterale) = 18 muchii.
Fețe: 2 (baze) + 6 (fețe laterale) = 8 fețe.
Paralelipipedul dreptunghic este o prismă patrulateră dreaptă cu bazele dreptunghiuri. Toate cele 6 fețe ale sale sunt dreptunghiuri.
Cubul este o prismă cu toate fețele pătrate. Are 6 fețe congruente.
Atât paralelipipedul dreptunghic, cât și cubul sunt cazuri particulare de prisme drepte patrulatere. Perechile de fețe opuse sunt paralele și congruente.
O cutie de pantofi sau o carte au formă de paralelipiped dreptunghic. Un zar are forma unui cub.
Suprafața unei prisme (aria totală) poate fi desfășurată (întinsă) pe o suprafață plană, rezultând o figură bidimensională formată din baze și fețele laterale.
Pentru o prismă triunghiulară regulată, desfășurarea este compusă din 3 dreptunghiuri (fețele laterale) și 2 triunghiuri echilaterale (bazele).
Pentru un cub, desfășurarea este compusă din 6 pătrate congruente. O reprezentare comună este în formă de cruce.
Probleme practice
Ușoară: Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile: lungime \(L = 8\text{ cm}\), lățime \(l = 5\text{ cm}\) și înălțime \(h = 10\text{ cm}\). Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor sale.
Un paralelipiped dreptunghic are 12 muchii grupate astfel: 4 lungimi, 4 lățimi și 4 înălțimi (muchii laterale).
Suma = \(4 \cdot L + 4 \cdot l + 4 \cdot h = 4 \cdot (8 + 5 + 10) = 4 \cdot 23 = 92\text{ cm}\).
Suma = \(4 \cdot L + 4 \cdot l + 4 \cdot h = 4 \cdot (8 + 5 + 10) = 4 \cdot 23 = 92\text{ cm}\).
Medie: Vrem să îmbrăcăm complet o cutie în formă de cub folosind hârtie colorată. Dacă muchia cubului este de \(5\text{ cm}\), care este suprafața minimă de hârtie necesară (aria totală a cubului)?
Cubul este delimitat de 6 fețe care sunt pătrate congruente.
Aria unei fețe = \(5\text{ cm} \cdot 5\text{ cm} = 25\text{ cm}^2\).
Suprafața totală (6 fețe) = \(6 \cdot 25\text{ cm}^2 = 150\text{ cm}^2\).
Aria unei fețe = \(5\text{ cm} \cdot 5\text{ cm} = 25\text{ cm}^2\).
Suprafața totală (6 fețe) = \(6 \cdot 25\text{ cm}^2 = 150\text{ cm}^2\).
Dificilă: O prismă triunghiulară regulată are toate muchiile (atât cele laterale, cât și cele ale bazelor) egale cu \(6\text{ cm}\).
a) De ce formă sunt fețele laterale?
b) Calculați suma ariilor fețelor laterale.
a) De ce formă sunt fețele laterale?
b) Calculați suma ariilor fețelor laterale.
a) Prin definiție, fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Deoarece muchia laterală este egală cu muchia bazei (\(6\text{ cm}\)), aceste dreptunghiuri au lungimea și lățimea egale. Deci, fețele laterale sunt pătrate.
b) Prisma triunghiulară are 3 fețe laterale.
Aria unei fețe laterale (pătrat) = \(6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2\).
Suma ariilor fețelor laterale = \(3 \cdot 36\text{ cm}^2 = 108\text{ cm}^2\).
b) Prisma triunghiulară are 3 fețe laterale.
Aria unei fețe laterale (pătrat) = \(6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2\).
Suma ariilor fețelor laterale = \(3 \cdot 36\text{ cm}^2 = 108\text{ cm}^2\).
