Cele mai importante aspecte ale lecției
Secționarea unei piramide sau a unui con cu un plan paralel cu baza produce la vârf un corp „asemenea” cu cel inițial, iar la bază un trunchi (de piramidă sau de con).
Proporționalitatea este cheia: Raportul distanțelor mici (muchii laterale, generatoare, înălțimi, raze, muchii ale bazei) la distanțele mari corespunzătoare este constant.
Exemplu practic: Dacă tăiem un con astfel încât raza de sus să fie o treime din raza bazei (\(\frac{1}{3}\)), atunci și înălțimea conului mic obținut va fi o treime din înălțimea totală a conului mare. Muchiile laterale (sau generatoarele) trunchiului se află prin scăderea bucății mici din bucata totală.
Proporționalitatea este cheia: Raportul distanțelor mici (muchii laterale, generatoare, înălțimi, raze, muchii ale bazei) la distanțele mari corespunzătoare este constant.
Exemplu practic: Dacă tăiem un con astfel încât raza de sus să fie o treime din raza bazei (\(\frac{1}{3}\)), atunci și înălțimea conului mic obținut va fi o treime din înălțimea totală a conului mare. Muchiile laterale (sau generatoarele) trunchiului se află prin scăderea bucății mici din bucata totală.
Dacă secționăm o piramidă cu un plan paralel cu baza sa, obținem în partea de sus o piramidă mică, având același vârf ca piramida inițială. Corpul geometric rămas în partea de jos, prin îndepărtarea piramidei mici, se numește trunchi de piramidă.
Piramida mică obținută este „asemenea” cu piramida inițială. Toate elementele corespunzătoare (muchii laterale, muchiile bazei, înălțimi) sunt proporționale:
\[ \frac{VA'}{VA} = \frac{VB'}{VB} = \frac{VC'}{VC} = \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} \]
(unde V este vârful, A, B, C sunt vârfurile bazei mari, iar A', B', C' sunt vârfurile corespunzătoare ale bazei secțiunii/bazei mici).
Elementele unui trunchi de piramidă:
- Bazele: baza mare și baza mică sunt poligoane asemenea (au laturi proporționale și unghiuri congruente).
- Fețele laterale: sunt trapeze. Dacă trunchiul provine dintr-o piramidă regulată, fețele laterale sunt trapeze isoscele.
- Muchiile: muchiile bazei mari, muchiile bazei mici și muchiile laterale (segmentele care unesc vârfurile corespunzătoare ale celor două baze, ex: \(AA'\), \(BB'\)).
Similar cu piramida, dacă secționăm un con circular drept cu un plan paralel cu baza, obținem un con mic. Corpul rămas prin îndepărtarea conului mic se numește trunchi de con circular drept.
Conul mic este „asemenea” cu conul inițial, având elementele proporționale:
\[ \frac{VA'}{VA} = \frac{O'A'}{OA} = \frac{VO'}{VO} \]
Elementele trunchiului de con:
- Bazele: baza mare (un disc cu raza \( R = OA \)) și baza mică (un disc cu raza \( r = O'A' \)).
- Generatoarea trunchiului (\( G \)): este segmentul de pe generatoarea conului inițial cuprins între cele două baze. Se calculează ca diferență între generatoarea conului mare și cea a conului mic: \( G = AA' = VA - VA' \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Într-un con circular drept cu generatoarea de \( 20 \text{ cm} \) și raza bazei de \( 8 \text{ cm} \), se face o secțiune paralelă cu baza, obținându-se un con mic cu generatoarea de \( 5 \text{ cm} \). Determinați raza bazei conului mic.
Notăm generatoarele \( VA = 20 \text{ cm} \) și \( VA' = 5 \text{ cm} \), iar razele \( OA = 8 \text{ cm} \) și \( O'A' = r \).
Conform teoremei proporționalității: \[ \frac{VA'}{VA} = \frac{O'A'}{OA} \Rightarrow \frac{5}{20} = \frac{r}{8} \] \[ \frac{1}{4} = \frac{r}{8} \Rightarrow r = \frac{8}{4} = 2 \text{ cm} \] Răspuns: Raza bazei conului mic este \( 2 \text{ cm} \).
Conform teoremei proporționalității: \[ \frac{VA'}{VA} = \frac{O'A'}{OA} \Rightarrow \frac{5}{20} = \frac{r}{8} \] \[ \frac{1}{4} = \frac{r}{8} \Rightarrow r = \frac{8}{4} = 2 \text{ cm} \] Răspuns: Raza bazei conului mic este \( 2 \text{ cm} \).
Medie: Se secționează o piramidă triunghiulară regulată \( VABC \) cu un plan paralel cu baza. Se știe că muchia laterală a piramidei mari este \( VA = 15 \text{ cm} \), latura bazei mari este \( AB = 9 \text{ cm} \), iar muchia laterală a piramidei mici formate este \( VA' = 5 \text{ cm} \). Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor trunchiului de piramidă obținut.
Calculăm elementele trunchiului:
1. Muchia bazei mici (\(A'B'\)): \( \frac{VA'}{VA} = \frac{A'B'}{AB} \Rightarrow \frac{5}{15} = \frac{A'B'}{9} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{A'B'}{9} \Rightarrow A'B' = 3 \text{ cm} \).
2. Muchia laterală a trunchiului (\(AA'\)): \( AA' = VA - VA' = 15 - 5 = 10 \text{ cm} \).
Trunchiul are 3 muchii ale bazei mari, 3 muchii ale bazei mici și 3 muchii laterale:
Suma = \( 3 \cdot AB + 3 \cdot A'B' + 3 \cdot AA' = 3 \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 10 = 27 + 9 + 30 = 66 \text{ cm} \).
Răspuns: Suma tuturor muchiilor este \( 66 \text{ cm} \).
1. Muchia bazei mici (\(A'B'\)): \( \frac{VA'}{VA} = \frac{A'B'}{AB} \Rightarrow \frac{5}{15} = \frac{A'B'}{9} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{A'B'}{9} \Rightarrow A'B' = 3 \text{ cm} \).
2. Muchia laterală a trunchiului (\(AA'\)): \( AA' = VA - VA' = 15 - 5 = 10 \text{ cm} \).
Trunchiul are 3 muchii ale bazei mari, 3 muchii ale bazei mici și 3 muchii laterale:
Suma = \( 3 \cdot AB + 3 \cdot A'B' + 3 \cdot AA' = 3 \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 10 = 27 + 9 + 30 = 66 \text{ cm} \).
Răspuns: Suma tuturor muchiilor este \( 66 \text{ cm} \).
Dificilă: Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari \( R = 15 \text{ cm} \), raza bazei mici \( r = 5 \text{ cm} \) și generatoarea trunchiului \( G = 12 \text{ cm} \). Calculați lungimea generatoarei conului circular drept din care provine trunchiul.
Fie \( VA \) generatoarea conului mare și \( VA' \) generatoarea conului mic.
Știm că \( G = VA - VA' = 12 \text{ cm} \), deci \( VA = VA' + 12 \).
Folosind proporțiile: \[ \frac{VA'}{VA} = \frac{r}{R} \Rightarrow \frac{VA'}{VA' + 12} = \frac{5}{15} \] Simplificăm fracția din dreapta: \[ \frac{VA'}{VA' + 12} = \frac{1}{3} \] Înmulțim pe diagonală: \[ 3 \cdot VA' = VA' + 12 \] \[ 2 \cdot VA' = 12 \Rightarrow VA' = 6 \text{ cm} \] Generatoarea conului mare este \( VA = VA' + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ cm} \).
Răspuns: Generatoarea conului inițial este \( 18 \text{ cm} \).
Știm că \( G = VA - VA' = 12 \text{ cm} \), deci \( VA = VA' + 12 \).
Folosind proporțiile: \[ \frac{VA'}{VA} = \frac{r}{R} \Rightarrow \frac{VA'}{VA' + 12} = \frac{5}{15} \] Simplificăm fracția din dreapta: \[ \frac{VA'}{VA' + 12} = \frac{1}{3} \] Înmulțim pe diagonală: \[ 3 \cdot VA' = VA' + 12 \] \[ 2 \cdot VA' = 12 \Rightarrow VA' = 6 \text{ cm} \] Generatoarea conului mare este \( VA = VA' + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ cm} \).
Răspuns: Generatoarea conului inițial este \( 18 \text{ cm} \).
