Cele mai importante aspecte ale lecției
Proiecția ortogonală: Punctul \( P' \) obținut prin intersecția perpendicularei duse din \( P \) cu planul.
Proiecția unei drepte: Este în general o dreaptă, dar devine un singur punct dacă dreapta este perpendiculară pe plan.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan: Este unghiul \( u \) format de acea dreaptă cu proiecția sa pe plan (\( 0^\circ \le u^\circ \le 90^\circ \)).
Lungimea proiecției unui segment: Se calculează cu formula practică \( A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \). De exemplu, proiecția unui segment de \( 10 \) cu unghi de \( 60^\circ \) va avea lungimea \( 10 \cdot 0.5 = 5 \).
Proiecția unei drepte: Este în general o dreaptă, dar devine un singur punct dacă dreapta este perpendiculară pe plan.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan: Este unghiul \( u \) format de acea dreaptă cu proiecția sa pe plan (\( 0^\circ \le u^\circ \le 90^\circ \)).
Lungimea proiecției unui segment: Se calculează cu formula practică \( A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \). De exemplu, proiecția unui segment de \( 10 \) cu unghi de \( 60^\circ \) va avea lungimea \( 10 \cdot 0.5 = 5 \).
Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan este punctul în care perpendiculara dusă din acel punct pe plan intersectează planul (piciorul perpendicularei).
Dacă perpendiculara din \( P \) pe planul \( \alpha \) intersectează planul în \( P' \), notăm: \( P' = \text{pr}_{\alpha} P \).
Dacă punctul \( P \) se află deja în planul \( \alpha \) (\( P \in \alpha \)), atunci proiecția punctului \( P \) pe planul \( \alpha \) este chiar punctul \( P \).
Proiecția unei figuri geometrice oarecare pe un plan este formată din mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor acelei figuri pe planul respectiv.
Într-un cub \( ABCDA'B'C'D' \):
- \( \text{pr}_{(ABC)} A' = A \), deoarece muchia \( AA' \) este perpendiculară pe planul bazei \( (ABC) \).
- \( \text{pr}_{(ABC)} C = C \), deoarece punctul \( C \) se află deja în planul \( (ABC) \).
- \( \text{pr}_{(ABC)} A' = A \), deoarece muchia \( AA' \) este perpendiculară pe planul bazei \( (ABC) \).
- \( \text{pr}_{(ABC)} C = C \), deoarece punctul \( C \) se află deja în planul \( (ABC) \).
Proiecția unei drepte pe un plan este fie o dreaptă, fie un punct.
Cazurile proiecției unei drepte \( d \) pe un plan \( \alpha \):
- Dacă \( d \) nu este perpendiculară pe \( \alpha \), proiecția ei este o dreaptă \( d' \).
- Dacă \( d \) este perpendiculară pe \( \alpha \) (\( d \perp \alpha \)), proiecția ei este un punct (punctul de intersecție cu planul).
- Dacă \( d \) este paralelă cu \( \alpha \) (\( d \parallel \alpha \)), proiecția ei este o dreaptă \( d' \) paralelă cu \( d \).
- Dacă \( d \) este conținută în \( \alpha \) (\( d \subset \alpha \)), proiecția ei este chiar dreapta \( d \).
Proiecția unui segment pe un plan este un segment (dacă dreapta suport nu este perpendiculară pe plan) sau un punct (dacă dreapta suport este perpendiculară pe plan).
Dacă \( A' \) și \( B' \) sunt proiecțiile punctelor \( A \) și \( B \) pe planul \( \alpha \), notăm: \( A'B' = \text{pr}_{\alpha} AB \).
Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul determinat de acea dreaptă cu proiecția ei pe plan (în cazul în care dreapta nu este nici perpendiculară, nici paralelă cu planul).
Convenții pentru cazurile speciale:
- Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul considerat este de \( 90^\circ \).
- Dacă dreapta este paralelă cu planul sau conținută în el, unghiul considerat este de \( 0^\circ \).
Măsura unghiului \( u \) format de o dreaptă cu un plan este întotdeauna cuprinsă în intervalul \( [0^\circ, 90^\circ] \).
Unghiul format de un segment cu un plan este unghiul format de dreapta care conține acel segment cu planul respectiv.
Dacă măsura unghiului dintre segmentul \( AB \) și planul \( \alpha \) este \( u^\circ \) (unde \( 0^\circ < u^\circ < 90^\circ \)) și \( A'B' \) este proiecția segmentului \( AB \) pe plan, lungimea proiecției se calculează folosind funcția cosinus.
\[ A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \]
unde \( A'B' \) este lungimea proiecției, \( AB \) este lungimea segmentului original, iar \( u^\circ \) este unghiul dintre dreapta \( AB \) și plan.
Fie un segment \( AB = 10 \text{ cm} \) care face un unghi de \( 60^\circ \) cu planul \( \alpha \).
Lungimea proiecției sale \( A'B' \) pe plan este:
\( A'B' = AB \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm} \).
Lungimea proiecției sale \( A'B' \) pe plan este:
\( A'B' = AB \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm} \).
Segmentul \( MN \) are lungimea de \( 8\sqrt{2} \text{ cm} \) și formează un unghi de \( 45^\circ \) cu planul \( \beta \). Calculați lungimea proiecției segmentului \( MN \) pe planul \( \beta \).
Aplicăm formula: \( M'N' = MN \cdot \cos 45^\circ \)
\( M'N' = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 8 \text{ cm} \).
\( M'N' = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 8 \text{ cm} \).
Probleme de practică
Ușoară: Un segment \( PQ \) are lungimea de \( 15 \text{ cm} \) și este paralel cu planul \( \alpha \). Care este lungimea proiecției segmentului \( PQ \) pe planul \( \alpha \)?
Deoarece segmentul este paralel cu planul, unghiul format de dreapta \( PQ \) cu planul este \( 0^\circ \).
Conform formulei: \( P'Q' = PQ \cdot \cos 0^\circ = 15 \cdot 1 = 15 \text{ cm} \).
Alternativ: Se știe din proprietățile proiecției că proiecția unui segment paralel cu un plan este un segment congruent cu cel inițial. Deci, \( P'Q' = 15 \text{ cm} \).
Conform formulei: \( P'Q' = PQ \cdot \cos 0^\circ = 15 \cdot 1 = 15 \text{ cm} \).
Alternativ: Se știe din proprietățile proiecției că proiecția unui segment paralel cu un plan este un segment congruent cu cel inițial. Deci, \( P'Q' = 15 \text{ cm} \).
Medie: Punctele \( A \) și \( B \) se află de aceeași parte a planului \( \alpha \). Proiecția segmentului \( AB \) pe plan este segmentul \( A'B' \). Știind că \( AB = 12 \text{ cm} \) și \( A'B' = 6\sqrt{3} \text{ cm} \), determinați măsura unghiului format de dreapta \( AB \) cu planul \( \alpha \).
Folosim formula \( A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \), unde \( u^\circ \) este unghiul căutat.
\( 6\sqrt{3} = 12 \cdot \cos u^\circ \)
\( \cos u^\circ = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Deoarece \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), rezultă că măsura unghiului format de dreapta \( AB \) cu planul este de \( 30^\circ \).
\( 6\sqrt{3} = 12 \cdot \cos u^\circ \)
\( \cos u^\circ = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Deoarece \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), rezultă că măsura unghiului format de dreapta \( AB \) cu planul este de \( 30^\circ \).
Dificilă: Fie cubul \( ABCDA'B'C'D' \) cu muchia de \( 6 \text{ cm} \). Determinați proiecția dreptei \( AC' \) pe planul bazei \( (ABC) \), precum și cosinusul unghiului format de dreapta \( AC' \) cu planul \( (ABC) \).
1. Determinarea proiecției:
Pentru a găsi proiecția dreptei \( AC' \) pe \( (ABC) \), proiectăm punctele dreptei pe acest plan.
\( \text{pr}_{(ABC)} A = A \) (deoarece \( A \in (ABC) \)).
\( \text{pr}_{(ABC)} C' = C \) (deoarece muchia \( C'C \perp (ABC) \)).
Așadar, proiecția dreptei \( AC' \) pe planul \( (ABC) \) este dreapta \( AC \).
2. Calculul unghiului:
Unghiul dintre dreapta \( AC' \) și planul \( (ABC) \) este unghiul dintre \( AC' \) și proiecția sa \( AC \), adică unghiul \( \sphericalangle C'AC \).
Triunghiul \( ACC' \) este dreptunghic în \( C \) (deoarece \( CC' \perp (ABC) \), deci \( CC' \perp AC \)).
\( AC \) este diagonala pătratului de bază, deci \( AC = l\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).
\( AC' \) este diagonala cubului, deci \( AC' = l\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
În \( \Delta ACC' \): \( \cos(\sphericalangle C'AC) = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} = \frac{AC}{AC'} = \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \).
Pentru a găsi proiecția dreptei \( AC' \) pe \( (ABC) \), proiectăm punctele dreptei pe acest plan.
\( \text{pr}_{(ABC)} A = A \) (deoarece \( A \in (ABC) \)).
\( \text{pr}_{(ABC)} C' = C \) (deoarece muchia \( C'C \perp (ABC) \)).
Așadar, proiecția dreptei \( AC' \) pe planul \( (ABC) \) este dreapta \( AC \).
2. Calculul unghiului:
Unghiul dintre dreapta \( AC' \) și planul \( (ABC) \) este unghiul dintre \( AC' \) și proiecția sa \( AC \), adică unghiul \( \sphericalangle C'AC \).
Triunghiul \( ACC' \) este dreptunghic în \( C \) (deoarece \( CC' \perp (ABC) \), deci \( CC' \perp AC \)).
\( AC \) este diagonala pătratului de bază, deci \( AC = l\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \).
\( AC' \) este diagonala cubului, deci \( AC' = l\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
În \( \Delta ACC' \): \( \cos(\sphericalangle C'AC) = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} = \frac{AC}{AC'} = \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \).
