Cele mai importante aspecte ale lecției
Relațiile esențiale într-un trunchi de piramidă regulată:
- Calcul apotemă: \( a_{trunchi}^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2 \)
- Aria laterală: Se folosește formula trapezului aplicată la perimetru: \( \mathcal{A}_{lat} = \frac{(\mathcal{P}_B + \mathcal{P}_b) \cdot a_{trunchi}}{2} \)
- Volumul: Necesită calculul ariilor bazelor: \( \mathcal{V} = \frac{h}{3} \left( \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b} \right) \)
- Asemănarea: Piramida mică formată sus și piramida mare din care provine trunchiul au volumele în raportul \( k^3 \), unde \( k \) este raportul laturilor omoloage.
Corpul rămas după secționarea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici obținute se numește trunchi de piramidă regulată.
Acesta are două baze care sunt poligoane regulate asemenea (baza mare și baza mică), iar fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.
\( h \) = înălțimea trunchiului (distanța dintre centrele celor două baze, \( OO' \)).
\( a_{trunchi} \) = apotema trunchiului (înălțimea unei fețe laterale a trunchiului).
\( a_B \) = apotema bazei mari (distanța de la centrul bazei mari la o muchie a acesteia).
\( a_b \) = apotema bazei mici (distanța de la centrul bazei mici la o muchie a acesteia).
Pentru a rezolva probleme cu trunchiul de piramidă, ne folosim adesea de trapeze dreptunghice sau isoscele formate în interiorul său sau pe suprafața sa, aplicând Teorema lui Pitagora.
Trapezul apotemelor (OMM'O') – este un trapez dreptunghic format din înălțimea trunchiului, apotemele bazelor și apotema trunchiului. Generând un triunghi dreptunghic în interiorul său, obținem relația:
\[ a_{trunchi}^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2 \]
Trapezul muchiilor și razelor (OBB'O') – este un trapez dreptunghic format din razele cercurilor circumscrise bazelor (\( R \) și \( r \)), înălțimea \( h \) și muchia laterală a trunchiului (\( m_{lat} \)). Relația este:
\[ m_{lat}^2 = h^2 + (R - r)^2 \]
Fața laterală (BCC'B') – este un trapez isoscel având ca baze muchia bazei mari (\( L \)) și muchia bazei mici (\( l \)), iar ca înălțime apotema trunchiului. Relația pentru muchia laterală este:
\[ m_{lat}^2 = a_{trunchi}^2 + \left( \frac{L - l}{2} \right)^2 \]
Dacă un trunchi de piramidă are înălțimea \( h = 4 \) cm, apotema bazei mari \( a_B = 8 \) cm și apotema bazei mici \( a_b = 5 \) cm, putem afla apotema trunchiului aplicând formula trapezului dreptunghic:
\( a_{trunchi}^2 = 4^2 + (8 - 5)^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \). Prin urmare, \( a_{trunchi} = \sqrt{25} = 5 \) cm.
\( a_{trunchi}^2 = 4^2 + (8 - 5)^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \). Prin urmare, \( a_{trunchi} = \sqrt{25} = 5 \) cm.
\( \mathcal{P}_B \), \( \mathcal{P}_b \) = perimetrele bazei mari, respectiv bazei mici.
\( \mathcal{A}_B \), \( \mathcal{A}_b \) = ariile bazei mari, respectiv bazei mici.
\( \mathcal{A}_B \), \( \mathcal{A}_b \) = ariile bazei mari, respectiv bazei mici.
Aria laterală (\( \mathcal{A}_{lat} \)): Este suma ariilor tuturor fețelor laterale (trapeze isoscele).
\[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(\mathcal{P}_B + \mathcal{P}_b) \cdot a_{trunchi}}{2} \]
Aria totală (\( \mathcal{A}_{tot} \)):
\[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b \]
Volumul trunchiului de piramidă (\( \mathcal{V} \)):
\[ \mathcal{V} = \frac{h}{3} \left( \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b} \right) \]
Secționarea piramidei inițiale cu un plan paralel cu baza formează o piramidă mică asemenea cu piramida mare din care provine.
Dacă notăm cu \( k \) raportul de asemănare (raportul dintre o lungime din piramida mică și lungimea corespunzătoare din piramida mare, ex: \( k = \frac{l}{L} = \frac{h_{mic}}{h_{mare}} \)), atunci avem următoarele rapoarte:
- Raportul ariilor (baze, laterale sau totale) este egal cu \( k^2 \):
\( \frac{\mathcal{A}_{piramidă~mică}}{\mathcal{A}_{piramidă~mare}} = k^2 \) - Raportul volumelor este egal cu \( k^3 \):
\( \frac{\mathcal{V}_{piramidă~mică}}{\mathcal{V}_{piramidă~mare}} = k^3 \)
Probleme propuse
Ușoară: Un trunchi de piramidă regulată are perimetrul bazei mari de \( 40 \) cm, perimetrul bazei mici de \( 24 \) cm și apotema trunchiului de \( 5 \) cm. Calculați aria laterală a trunchiului.
Aplicăm direct formula ariei laterale:
\[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(\mathcal{P}_B + \mathcal{P}_b) \cdot a_{trunchi}}{2} \]
\[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(40 + 24) \cdot 5}{2} = \frac{64 \cdot 5}{2} = 32 \cdot 5 = 160 \text{ cm}^2 \]
Medie: Calculați volumul unui trunchi de piramidă patrulateră regulată știind că latura bazei mari este \( L = 10 \) cm, latura bazei mici este \( l = 4 \) cm, iar înălțimea trunchiului este \( h = 6 \) cm.
Calculăm mai întâi ariile celor două baze (fiind pătrate):
\[ \mathcal{A}_B = L^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2 \]
\[ \mathcal{A}_b = l^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2 \]
Aplicăm formula volumului:
\[ \mathcal{V} = \frac{h}{3} \left( \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b} \right) \]
\[ \mathcal{V} = \frac{6}{3} \left( 100 + 16 + \sqrt{100 \cdot 16} \right) \]
\[ \mathcal{V} = 2 \cdot (116 + \sqrt{1600}) = 2 \cdot (116 + 40) = 2 \cdot 156 = 312 \text{ cm}^3 \]
Dificilă: Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată se cunosc: latura bazei mari \( L = 12\sqrt{3} \) cm, latura bazei mici \( l = 6\sqrt{3} \) cm și înălțimea \( h = 3 \) cm. Determinați apotema trunchiului și aria sa laterală.
Pasul 1: Calculăm apotemele bazelor (triunghiuri echilaterale, formula apotemei este \( a = \frac{l\sqrt{3}}{6} \)):
\[ a_B = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{12 \cdot 3}{6} = 6 \text{ cm} \]
\[ a_b = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot 3}{6} = 3 \text{ cm} \]
Pasul 2: Calculăm apotema trunchiului folosind relația trapezului dreptunghic \( OMM'O' \):
\[ a_{trunchi}^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2 = 3^2 + (6 - 3)^2 = 9 + 9 = 18 \]
\[ a_{trunchi} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \]
Pasul 3: Calculăm perimetrele și aria laterală:
\[ \mathcal{P}_B = 3 \cdot 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ cm}, \quad \mathcal{P}_b = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ cm} \]
\[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(36\sqrt{3} + 18\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{2}}{2} = \frac{54\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}}{2} = \frac{162\sqrt{6}}{2} = 81\sqrt{6} \text{ cm}^2 \]
