I.2. Stare De Încălzire. Echilibru Termic. Temperatura Empirică

Pasul 1: Identificarea reperelor termometrice fundamentale

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să stabilim o corespondență între indicațiile termometrului eronat și temperaturile reale pe scara Celsius. Știm că, la presiune atmosferică normală: - Apa în echilibru cu gheața (temperatura de topire) corespunde unei temperaturi reale \( t_{c1} = 0^\circ\text{C} \). Termometrul nostru indică \( t_{x1} = -6^\circ\text{C} \). - Apa în echilibru cu vaporii săi (temperatura de fierbere) corespunde unei temperaturi reale \( t_{c2} = 100^\circ\text{C} \). Termometrul nostru indică \( t_{x2} = 109^\circ\text{C} \). Nouă ni se cere să aflăm temperatura reală \( t_c \) atunci când termometrul indică \( t_x = 40^\circ\text{C} \).

Pasul 2: Scrierea ecuației de interpolare

Deoarece lichidul termometric se dilată uniform, raportul distanțelor dintre gradații pe cele două scări este constant. Putem scrie egalitatea rapoartelor segmentelor de temperatură (pe baza proporționalității, asemenea teoremei lui Thales): \[ \frac{t_x - t_{x1}}{t_{x2} - t_{x1}} = \frac{t_c - t_{c1}}{t_{c2} - t_{c1}} \]

Pasul 3: Înlocuirea datelor numerice și calculul matematic

Înlocuim valorile cunoscute în relația de mai sus: \[ \frac{40 - (-6)}{109 - (-6)} = \frac{t_c - 0}{100 - 0} \] Rezolvăm parantezele, ținând cont că minus ori minus dă plus: \[ \frac{40 + 6}{109 + 6} = \frac{t_c}{100} \] Efectuăm adunările: \[ \frac{46}{115} = \frac{t_c}{100} \] Observăm că atât \( 46 \), cât și \( 115 \) sunt divizibile cu \( 23 \). Simplificăm fracția: \[ \frac{\cancel{46}^2}{\cancel{115}_5} = \frac{t_c}{100} \] \[ \frac{2}{5} = \frac{t_c}{100} \]

Pasul 4: Determinarea temperaturii reale

Exprimăm necunoscuta \( t_c \): \[ t_c = \frac{2}{5} \cdot 100 \] Simplificăm fracția reducând pe \( 100 \) și pe \( 5 \) cu \( 5 \): \[ t_c = 2 \cdot \frac{\cancel{100}^{20}}{\cancel{5}_1} \] Efectuăm înmulțirea finală: \[ t_c = 2 \cdot 20 = 40^\circ\text{C} \] Observăm un caz particular interesant: la exact \( 40^\circ\text{C} \), indicația termometrului eronat coincide cu temperatura reală.

\[ \frac{t_x - t_{x1}}{t_{x2} - t_{x1}} = \frac{t_c - t_{c1}}{t_{c2} - t_{c1}} \] \[ \frac{40 - (-6)}{109 - (-6)} = \frac{t_c - 0}{100 - 0} \] \[ \frac{46}{115} = \frac{t_c}{100} \] \[ \frac{\cancel{46}^2}{\cancel{115}_5} = \frac{t_c}{100} \] \[ t_c = \frac{2}{5} \cdot 100 = 2 \cdot \frac{\cancel{100}^{20}}{\cancel{5}_1} = 40^\circ\text{C} \]