III.4.4. Extindere: Determinarea Formulelor Lentilelor Subțiri - Puncte Conjugate, Mărire Liniară Transversală Folosind Elemente De Geometrie Plană

Pentru a rezolva problema, vom extrage mai întâi datele cunoscute, respectând convenția de semne pentru coordonate. Datele problemei sunt: - Distanța focală a lentilei convergente: \( f = 30 \text{ cm} \) - Coordonata obiectului (așezat în fața lentilei): \( x_1 = -60 \text{ cm} \) - Înălțimea obiectului luminos: \( y_1 = 4 \text{ cm} \)

a) Construcția geometrică a imaginii

Pentru a construi imaginea pe hârtie milimetrică, vom urma pașii de desenare la scară.

b) Determinarea distanței și mărimii imaginii

Pasul 1: Calculul distanței de la imagine la lentilă

Vom aplica formula punctelor conjugate pentru lentile subțiri, pentru a determina abscisa imaginii, \( x_2 \). Formula este: \[ \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1}{f} \] Înlocuim datele cunoscute în formulă: \[ \frac{1}{x_2} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{30} \] Ținând cont de regula semnelor (minus ori minus face plus), ecuația devine: \[ \frac{1}{x_2} + \frac{1}{60} = \frac{1}{30} \] Vom izola termenul care conține necunoscuta \( x_2 \): \[ \frac{1}{x_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} \] Aducem fracțiile la același numitor comun, care este 60. Amplificăm prima fracție cu 2: \[ \frac{1}{x_2} = \frac{2}{60} - \frac{1}{60} \] Efectuăm scăderea: \[ \frac{1}{x_2} = \frac{1}{60} \] Din această egalitate, rezultă distanța imaginii față de lentilă: \[ x_2 = 60 \text{ cm} \] Deoarece \( x_2 > 0 \), imaginea este reală și se formează în spatele lentilei.

Pasul 2: Calculul mărimii imaginii

Vom folosi formula măririi liniare transversale pentru a determina ordonata imaginii, \( y_2 \). \[ \beta = \frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2}{x_1} \] Din această proporție, extragem formula pentru \( y_2 \): \[ y_2 = y_1 \cdot \frac{x_2}{x_1} \] Înlocuim valorile obținute și datele din problemă: \[ y_2 = 4 \cdot \frac{60}{-60} \] Efectuăm împărțirea din fracție și apoi înmulțirea: \[ y_2 = 4 \cdot (-1) \] \[ y_2 = -4 \text{ cm} \] Semnul minus indică faptul că imaginea este răsturnată față de obiect. Mărimea imaginii este de 4 cm (în valoare absolută).

Compararea rezultatelor

Din calcul am obținut că imaginea se află la distanța de 60 cm în spatele lentilei (\( x_2 = 60 \text{ cm} \)) și este de aceeași dimensiune cu obiectul, dar răsturnată (\( y_2 = -4 \text{ cm} \)). Dacă măsurăm pe construcția geometrică realizată la punctul a) cu rigla, vom constata că distanța \( OA_2 \) este de 6 cm pe hârtie (60 cm în realitate), iar înălțimea \( A_2B_2 \) este de 2 cm pe hârtie în jos (4 cm în realitate). Astfel, rezultatele obținute analitic coincid perfect cu cele obținute prin construcție geometrică.

Date: \( f = 30 \text{ cm} \), \( x_1 = -60 \text{ cm} \), \( y_1 = 4 \text{ cm} \)

a)

b)

\[ \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{x_2} + \frac{1}{60} = \frac{1}{30} \Rightarrow \frac{1}{x_2} = \frac{1}{60} \Rightarrow x_2 = 60 \text{ cm} \] \[ y_2 = y_1 \cdot \frac{x_2}{x_1} = 4 \cdot \frac{\cancel{60}^1}{-\cancel{60}_1} = -4 \text{ cm} \] Rezultatele matematice confirmă măsurătorile de pe grafic.