Cele mai importante aspecte ale lecției
Dreptunghiul: Este un paralelogram cu toate unghiurile drepte (\( 90^\circ \)). Are două dimensiuni: lungimea (\( L \)) și lățimea (\( l \)). Laturile opuse sunt paralele și egale.
Pătratul: Este un romb cu toate unghiurile drepte sau un dreptunghi cu toate laturile egale (\( AB = BC = CD = DA \)). Toate cele patru unghiuri ale sale sunt de \( 90^\circ \).
Pătratul: Este un romb cu toate unghiurile drepte sau un dreptunghi cu toate laturile egale (\( AB = BC = CD = DA \)). Toate cele patru unghiuri ale sale sunt de \( 90^\circ \).
Paralelogramul care are toate unghiurile drepte se numește dreptunghi.
Proprietățile dreptunghiului ABCD:
- Laturile opuse sunt paralele: \( AB \parallel CD \) și \( AD \parallel BC \).
- Laturile opuse au lungimi egale: \( AB = CD = L \) și \( AD = BC = l \).
- Toate unghiurile sunt drepte (au măsura de \( 90^\circ \)): \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ \).
Dacă un dreptunghi are lungimea \( L = 10 \text{ cm} \) și lățimea \( l = 4 \text{ cm} \), atunci laturile opuse vor fi egale: cele două lungimi vor avea ambele \( 10 \text{ cm} \), iar cele două lățimi vor avea ambele \( 4 \text{ cm} \).
Într-un dreptunghi \( ABCD \), lungimea \( AB = 15 \text{ cm} \) și lățimea \( BC = 8 \text{ cm} \). Determinați lungimile laturilor \( CD \) și \( DA \).
Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt egale:
- Latura opusă lui \( AB \) este \( CD \), deci \( CD = AB = 15 \text{ cm} \).
- Latura opusă lui \( BC \) este \( DA \), deci \( DA = BC = 8 \text{ cm} \).
Pătratul este rombul cu toate unghiurile drepte.
Un dreptunghi care are toate laturile de aceeași lungime se numește pătrat.
Proprietățile pătratului ABCD:
- Toate laturile au lungimi egale: \( AB = BC = CD = DA \).
- Toate unghiurile sunt drepte (au măsura de \( 90^\circ \)): \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ \).
- Laturile opuse sunt paralele: \( AB \parallel CD \) și \( AD \parallel BC \).
Dacă un pătrat are o latură de \( 6 \text{ cm} \), care este suma lungimilor tuturor celor patru laturi ale sale?
Deoarece un pătrat are toate laturile egale, fiecare dintre cele patru laturi va măsura \( 6 \text{ cm} \).
Suma lungimilor tuturor laturilor este: \[ 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 4 \cdot 6 \text{ cm} = 24 \text{ cm} \] Răspuns: Suma laturilor este \( 24 \text{ cm} \).
Suma lungimilor tuturor laturilor este: \[ 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 4 \cdot 6 \text{ cm} = 24 \text{ cm} \] Răspuns: Suma laturilor este \( 24 \text{ cm} \).
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Un pătrat are latura de \( 9 \text{ cm} \). Determinați lungimea fiecăreia dintre celelalte trei laturi.
Prin definiție, pătratul are toate cele patru laturi egale.
Dacă o latură are \( 9 \text{ cm} \), atunci fiecare dintre celelalte trei laturi va măsura tot \( 9 \text{ cm} \).
Răspuns: Fiecare dintre celelalte trei laturi măsoară \( 9 \text{ cm} \).
Răspuns: Fiecare dintre celelalte trei laturi măsoară \( 9 \text{ cm} \).
Problema 2 (Medie): Într-un dreptunghi \( ABCD \), suma lungimilor celor două lățimi (\( AD + BC \)) este de \( 14 \text{ cm} \). Cât măsoară lățimea \( AD \)?
Într-un dreptunghi, laturile opuse (în acest caz, lățimile) sunt egale: \( AD = BC \).
Știm că \( AD + BC = 14 \text{ cm} \).
Înlocuind pe \( BC \) cu \( AD \), obținem: \[ AD + AD = 14 \text{ cm} \implies 2 \cdot AD = 14 \text{ cm} \implies AD = 14 : 2 = 7 \text{ cm} \]
Răspuns: Lățimea \( AD \) măsoară \( 7 \text{ cm} \).
Știm că \( AD + BC = 14 \text{ cm} \).
Înlocuind pe \( BC \) cu \( AD \), obținem: \[ AD + AD = 14 \text{ cm} \implies 2 \cdot AD = 14 \text{ cm} \implies AD = 14 : 2 = 7 \text{ cm} \]
Răspuns: Lățimea \( AD \) măsoară \( 7 \text{ cm} \).
Problema 3 (Dificilă): Un dreptunghi și un pătrat au aceeași lățime/latură de \( 5 \text{ cm} \). Dacă lungimea dreptunghiului este de trei ori mai mare decât latura pătratului, aflați care este suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului.
1. Latura pătratului este de \( 5 \text{ cm} \).
2. Lățimea dreptunghiului (\( l \)) este egală cu latura pătratului, deci \( l = 5 \text{ cm} \).
3. Lungimea dreptunghiului (\( L \)) este de trei ori mai mare decât latura pătratului: \[ L = 3 \cdot 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm} \]
4. Suma tuturor laturilor dreptunghiului (perimetrul) este formată din două lungimi și două lățimi: \[ \text{Suma} = L + L + l + l = 15 + 15 + 5 + 5 = 40 \text{ cm} \]
Răspuns: Suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului este de \( 40 \text{ cm} \).
2. Lățimea dreptunghiului (\( l \)) este egală cu latura pătratului, deci \( l = 5 \text{ cm} \).
3. Lungimea dreptunghiului (\( L \)) este de trei ori mai mare decât latura pătratului: \[ L = 3 \cdot 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm} \]
4. Suma tuturor laturilor dreptunghiului (perimetrul) este formată din două lungimi și două lățimi: \[ \text{Suma} = L + L + l + l = 15 + 15 + 5 + 5 = 40 \text{ cm} \]
Răspuns: Suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului este de \( 40 \text{ cm} \).
