Cele mai importante aspecte ale lecției
Criterii bazate pe ultima cifră:
- Divizibil cu 2 \(\rightarrow\) ultima cifră este pară (\(0, 2, 4, 6, 8\)).
- Divizibil cu 5 \(\rightarrow\) ultima cifră este \(0\) sau \(5\).
- Divizibil cu 10 \(\rightarrow\) ultima cifră este \(0\).
- Divizibil cu \(10^n\) \(\rightarrow\) ultimele \(n\) cifre sunt \(0\).
- Divizibil cu 3 \(\rightarrow\) suma cifrelor este un multiplu de 3. Exemplu: \(102 \rightarrow 1+0+2=3\).
- Divizibil cu 9 \(\rightarrow\) suma cifrelor este un multiplu de 9. Exemplu: \(288 \rightarrow 2+8+8=18\).
Un criteriu de divizibilitate este o regulă simplă care ne permite să stabilim dacă un număr se împarte exact la un altul, fără a fi nevoie să efectuăm operația de împărțire.
Criteriul de divizibilitate cu 2:
Un număr natural este divizibil cu 2 (este par) dacă ultima sa cifră este pară: \(0, 2, 4, 6\) sau \(8\). Exemple: \(12\), \(36\), \(130\), \(2024\).
Un număr natural este divizibil cu 2 (este par) dacă ultima sa cifră este pară: \(0, 2, 4, 6\) sau \(8\). Exemple: \(12\), \(36\), \(130\), \(2024\).
Criteriul de divizibilitate cu 5:
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este \(0\) sau \(5\). Exemple: \(35\), \(160\), \(2135\).
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este \(0\) sau \(5\). Exemple: \(35\), \(160\), \(2135\).
Criteriul de divizibilitate cu 10:
Un număr natural este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este \(0\). Exemple: \(40\), \(350\), \(87390\).
Un număr natural este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este \(0\). Exemple: \(40\), \(350\), \(87390\).
Dintre numerele \(45\), \(72\), \(120\), \(83\), care sunt divizibile cu 2? Dar cu 5? Dar cu 10?
- Divizibile cu 2 (se termină în cifră pară): \(72\) și \(120\).
- Divizibile cu 5 (se termină în 0 sau 5): \(45\) și \(120\).
- Divizibile cu 10 (se termină în 0): \(120\).
Un număr natural este divizibil cu \(10^n\) (unde \(n\) este un număr natural, \(n \ge 1\)) dacă ultimele sale \(n\) cifre sunt egale cu \(0\).
- Un număr este divizibil cu \(10^2\) (adică cu \(100\)) dacă se termină în cel puțin două zerouri.
Exemple: \(700\), \(3500\), \(71400\). - Un număr este divizibil cu \(10^3\) (adică cu \(1000\)) dacă se termină în cel puțin trei zerouri.
Exemple: \(3000\), \(72000\), \(7469000\).
Stabiliți dacă numărul \(4500\) este divizibil cu \(10^2\) și cu \(10^3\).
Numărul \(4500\) se termină în două zerouri.
- Este divizibil cu \(10^2\) (100), deoarece are ultimele două cifre egale cu 0.
- Nu este divizibil cu \(10^3\) (1000), deoarece nu are ultimele trei cifre egale cu 0.
Criteriul de divizibilitate cu 3:
Un număr natural este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Exemplu: \(477\) este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor sale este \(4 + 7 + 7 = 18\), iar \(18\) se împarte exact la 3 (\(18 : 3 = 6\)).
Un număr natural este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Exemplu: \(477\) este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor sale este \(4 + 7 + 7 = 18\), iar \(18\) se împarte exact la 3 (\(18 : 3 = 6\)).
Criteriul de divizibilitate cu 9:
Un număr natural este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Exemplu: \(1485\) este divizibil cu 9 deoarece suma cifrelor sale este \(1 + 4 + 8 + 5 = 18\), iar \(18\) se împarte exact la 9 (\(18 : 9 = 2\)).
Un număr natural este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Exemplu: \(1485\) este divizibil cu 9 deoarece suma cifrelor sale este \(1 + 4 + 8 + 5 = 18\), iar \(18\) se împarte exact la 9 (\(18 : 9 = 2\)).
Orice număr divizibil cu 9 este în mod automat divizibil și cu 3 (deoarece 9 este divizibil cu 3).
Reciproca nu este întotdeauna adevărată! De exemplu, \(15\) este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 9.
Reciproca nu este întotdeauna adevărată! De exemplu, \(15\) este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 9.
Verificați dacă numărul \(582\) este divizibil cu 3 și cu 9.
Calculăm suma cifrelor numărului \(582\):
\[ 5 + 8 + 2 = 15 \]
- Deoarece \(15\) este divizibil cu 3 (\(15 : 3 = 5\)), rezultă că \(582\) este divizibil cu 3.
- Deoarece \(15\) nu este divizibil cu 9, rezultă că \(582\) nu este divizibil cu 9.
Practice problems
Problemă ușoară: Determinați toate cifrele \(a\) pentru care numărul de forma \(\overline{25a}\) este divizibil cu:
a) 2;
b) 5;
c) 10.
a) 2;
b) 5;
c) 10.
Aplicăm criteriile de divizibilitate pentru ultima cifră \(a\):
a) Pentru a fi divizibil cu 2, ultima cifră \(a\) trebuie să fie pară: \[ a \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \] Numerele sunt: \(250, 252, 254, 256, 258\).
b) Pentru a fi divizibil cu 5, ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5: \[ a \in \{0, 5\} \] Numerele sunt: \(250, 255\).
c) Pentru a fi divizibil cu 10, ultima cifră trebuie să fie 0: \[ a = 0 \] Numărul este: \(250\).
a) Pentru a fi divizibil cu 2, ultima cifră \(a\) trebuie să fie pară: \[ a \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \] Numerele sunt: \(250, 252, 254, 256, 258\).
b) Pentru a fi divizibil cu 5, ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5: \[ a \in \{0, 5\} \] Numerele sunt: \(250, 255\).
c) Pentru a fi divizibil cu 10, ultima cifră trebuie să fie 0: \[ a = 0 \] Numărul este: \(250\).
Problemă medie: Determinați toate numerele naturale de forma \(\overline{a32b}\) care sunt divizibile cu 2 și cu 9 în același timp (unde \(a \neq 0\)).
Pasul 1: Aplicăm criteriul de divizibilitate cu 2.
Pentru ca numărul să fie divizibil cu 2, ultima cifră \(b\) trebuie să fie pară, adică \(b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\).Pasul 2: Aplicăm criteriul de divizibilitate cu 9.
Suma cifrelor numărului trebuie să fie divizibilă cu 9: \[ S = a + 3 + 2 + b = a + b + 5 \] Suma \(a+b+5\) trebuie să fie un multiplu al lui 9 (adică 9 sau 18, deoarece valoarea maximă a sumei cifrelor este \(9+9+5 = 23\)).Analizăm fiecare caz pentru \(b\):
- Dacă \(b = 0 \Rightarrow a + 5 = 9 \Rightarrow a = 4\). Obținem numărul \(4320\).
- Dacă \(b = 2 \Rightarrow a + 7 = 9 \Rightarrow a = 2\). Obținem numărul \(2322\).
- Dacă \(b = 4 \Rightarrow a + 9 \in \{9, 18\} \Rightarrow a = 9\) (deoarece \(a \neq 0\)). Obținem numărul \(9324\).
- Dacă \(b = 6 \Rightarrow a + 11 = 18 \Rightarrow a = 7\). Obținem numărul \(7326\).
- Dacă \(b = 8 \Rightarrow a + 13 = 18 \Rightarrow a = 5\). Obținem numărul \(5328\).
Problemă dificilă: Arătați că numărul \(N = 10^{2025} - 1\) este divizibil cu 9.
Numărul \(10^{2025}\) se scrie ca cifra 1 urmată de 2025 de zerouri:
\[ 10^{2025} = 100...0 \]
Scăzând 1 din acest număr, obținem un număr format doar din cifre de 9:
\[ N = 10^{2025} - 1 = \underbrace{999...9}_{2025 \text{ cifre}} \]
Calculăm suma cifrelor numărului \(N\):
\[ S = \underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{2025 \text{ ori}} = 2025 \cdot 9 \]
Suma cifrelor este în mod evident un multiplu de 9 (deoarece se poate scrie ca un produs în care unul dintre factori este 9).
Conform criteriului de divizibilitate cu 9, numărul \(N\) este divizibil cu 9.
