Cele mai importante aspecte ale lecției
Sistemul zecimal: Folosește zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Poziția unei cifre determină clasa și ordinul ei (ex. în 345, cifra 3 reprezintă sute).
Cifre romane: Șapte simboluri (\(I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1\,000\)). Cifrele mici la dreapta se adună (ex. \(VI = 6\)), iar la stânga se scad (ex. \(IV = 4\)).
Descompunerea în baza 10: Orice număr se scrie ca o sumă de produse (ex: \(\overline{ab} = 10a + b\); \(73 = 7 \cdot 10 + 3\)).
Paritate: Numerele pare se termină în 0, 2, 4, 6, 8, iar cele impare în 1, 3, 5, 7, 9.
Cifre romane: Șapte simboluri (\(I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1\,000\)). Cifrele mici la dreapta se adună (ex. \(VI = 6\)), iar la stânga se scad (ex. \(IV = 4\)).
Descompunerea în baza 10: Orice număr se scrie ca o sumă de produse (ex: \(\overline{ab} = 10a + b\); \(73 = 7 \cdot 10 + 3\)).
Paritate: Numerele pare se termină în 0, 2, 4, 6, 8, iar cele impare în 1, 3, 5, 7, 9.
Pentru scrierea numerelor naturale folosim zece cifre arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.
Sistemul nostru de scriere este zecimal (zece unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior) și pozițional (valoarea unei cifre depinde de poziția sa în număr).
Pentru citirea ușoară a unui număr, grupăm cifrele câte trei, de la dreapta la stânga, în clase. Fiecare clasă conține trei ordine: Sute (S), Zeci (Z) și Unități (U).
| Clasa miliardelor | Clasa milioanelor | Clasa miilor | Clasa unităților | Cum citim? | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S | Z | U | S | Z | U | S | Z | U | S | Z | U | |
| 7 | 0 | 3 | șapte sute trei | |||||||||
| 1 | 3 | 0 | 8 | 5 | 5 | o sută treizeci de mii opt sute cincizeci și cinci | ||||||
| 5 | 9 | 1 | 0 | 0 | 7 | 4 | 1 | 6 | cinci sute nouăzeci și unu de milioane șapte mii patru sute șaisprezece | |||
- Mie: \(1\,000\) (3 zerouri)
- Milion: \(1\,000\,000\) (6 zerouri)
- Miliard: \(1\,000\,000\,000\) (9 zerouri)
- Bilion: \(1\,000\,000\,000\,000\) (12 zerouri)
- Trilion: \(1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\) (18 zerouri)
Cum se citește numărul \(12\,078\,691\)?
Grupăm numărul în clase: \(12\) (clasa milioanelor), \(078\) (clasa miilor), \(691\) (clasa unităților).
Citire: douăsprezece milioane șaptezeci și opt de mii șase sute nouăzeci și unu.
Citire: douăsprezece milioane șaptezeci și opt de mii șase sute nouăzeci și unu.
Sistemul roman folosește șapte simboluri de bază luate din alfabetul latin:
- \(I = 1\)
- \(V = 5\)
- \(X = 10\)
- \(L = 50\)
- \(C = 100\)
- \(D = 500\)
- \(M = 1\,000\)
Regula adunării: O cifră cu o valoare mai mică sau egală scrisă la dreapta uneia cu o valoare mai mare se adună la aceasta.
Exemplu: \(VIII = V + I + I + I = 5 + 3 = 8\).
Exemplu: \(VIII = V + I + I + I = 5 + 3 = 8\).
Regula scăderii: O cifră cu o valoare mai mică scrisă la stânga uneia cu o valoare mai mare se scade din aceasta.
Exemplu: \(IV = V - I = 5 - 1 = 4\) sau \(IX = X - I = 10 - 1 = 9\).
Exemplu: \(IV = V - I = 5 - 1 = 4\) sau \(IX = X - I = 10 - 1 = 9\).
Scrieți numărul 144 folosind cifre romane.
Descompunem numărul: \(144 = 100 + 40 + 4\).
- \(100 = C\)
- \(40 = 50 - 10 = XL\)
- \(4 = 5 - 1 = IV\)
Numere pare: au ultima cifră pară (0, 2, 4, 6 sau 8). Exemple: 40, 102, 254.
Numere impare: au ultima cifră impară (1, 3, 5, 7 sau 9). Exemple: 31, 273, 405.
Șirul numerelor naturale este format din \(0, 1, 2, 3, 4, \dots\) și se notează cu simbolul \(\mathbb{N}\).
Descompunerea zecimală a unui număr (în baza 10):
\[ \overline{ab} = a \cdot 10 + b \]
\[ \overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c \]
\[ \overline{abcd} = a \cdot 1\,000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d \]
unde literele reprezintă cifre, iar prima cifră nu poate fi 0.
Descompunerea numărului \(13\,407\) în baza 10:
\[ 13\,407 = 1 \cdot 10\,000 + 3 \cdot 1\,000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7 \]
Determinați numărul de forma \(\overline{ab}\) știind că \(a\) este sfertul lui \(b\), iar numărul este par.
Cifra \(a\) nu poate fi 0 (este prima cifră a numărului).
Deoarece \(a\) este sfertul lui \(b\), avem relația \(b = 4 \cdot a\).
Dacă \(a = 1 \implies b = 4\). Numărul este 14, care este par (ultima cifră este 4).
Dacă \(a = 2 \implies b = 8\). Numărul este 28, care este par (ultima cifră este 8).
Dacă \(a \ge 3 \implies b \ge 12\), ceea ce nu este posibil deoarece \(b\) trebuie să fie cifră (de la 0 la 9).
Răspuns: Numerele căutate sunt 14 și 28.
Deoarece \(a\) este sfertul lui \(b\), avem relația \(b = 4 \cdot a\).
Dacă \(a = 1 \implies b = 4\). Numărul este 14, care este par (ultima cifră este 4).
Dacă \(a = 2 \implies b = 8\). Numărul este 28, care este par (ultima cifră este 8).
Dacă \(a \ge 3 \implies b \ge 12\), ceea ce nu este posibil deoarece \(b\) trebuie să fie cifră (de la 0 la 9).
Răspuns: Numerele căutate sunt 14 și 28.
Probleme practice
Ușoară: Scrieți cu cifre romane anul nașterii unui elev, știind că acesta s-a născut în anul 2012.
Descompunem anul 2012:
\[ 2012 = 2\,000 + 10 + 2 \]
În cifre romane:
- \(2\,000 = MM\)
- \(10 = X\)
- \(2 = II\)
Răspuns: Anul 2012 se scrie ca \(MMXII\).
Răspuns: Anul 2012 se scrie ca \(MMXII\).
Medie: Determinați cifrele \(a, b, c, d, e\) știind că este adevărată egalitatea:
\[ \overline{4b37e} = a \cdot 10\,000 + 6 \cdot 1\,000 + c \cdot 100 + d \cdot 10 + 1 \]
Scriem descompunerea în baza 10 a numărului din partea stângă:
\[ \overline{4b37e} = 4 \cdot 10\,000 + b \cdot 1\,000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + e \]
Comparând termen cu termen cele două expresii:
- Cifra zecilor de mii: \(a = 4\)
- Cifra miilor: \(b = 6\)
- Cifra sutelor: \(c = 3\)
- Cifra zecilor: \(d = 7\)
- Cifra unităților: \(e = 1\)
Răspuns: \(a=4, b=6, c=3, d=7, e=1\).
Răspuns: \(a=4, b=6, c=3, d=7, e=1\).
Dificilă: Determinați numărul de forma \(\overline{abc}\), știind că:
\[ \overline{abc} + \overline{bc} + c = 481 \]
Descompunem numerele în baza 10:
\[ (100a + 10b + c) + (10b + c) + c = 481 \]
Strângem termenii asemenea:
\[ 100a + 20b + 3c = 481 \]
Deoarece \(a\), \(b\) și \(c\) sunt cifre (de la 0 la 9) și \(a \neq 0\):
- Dacă \(a = 4\):
\[ 400 + 20b + 3c = 481 \implies 20b + 3c = 81 \]
Dacă \(b = 4 \implies 80 + 3c = 81 \implies 3c = 1\) (imposibil pentru o cifră \(c\)).
Dacă \(b = 3 \implies 60 + 3c = 81 \implies 3c = 21 \implies c = 7\). Obținem soluția: \(a=4, b=3, c=7\).
Dacă \(b \le 2 \implies 20b \le 40 \implies 3c \ge 41\), imposibil deoarece valoarea maximă a lui \(3c\) este \(3 \cdot 9 = 27\). - Dacă \(a = 3\):
\[ 300 + 20b + 3c = 481 \implies 20b + 3c = 181 \]
Dacă \(b = 9 \implies 180 + 3c = 181 \implies 3c = 1\) (imposibil).
Dacă \(b = 8 \implies 160 + 3c = 181 \implies 3c = 21 \implies c = 7\). Obținem a doua soluție: \(a=3, b=8, c=7\).
Dacă \(b \le 7 \implies 20b \le 140 \implies 3c \ge 41\) (imposibil). - Dacă \(a \le 2\), suma maximă stângă ar fi \(200 + 20 \cdot 9 + 3 \cdot 9 = 407\), care este mai mică decât \(481\). Noile cazuri sunt imposibile.
