Cele mai importante aspecte ale lecției
- Fracția ordinară se scrie sub forma \( \frac{a}{b} \) (\( b \neq 0 \)), unde \( a \) este numărătorul (numărul de părți luate), iar \( b \) este numitorul (numărul total de părți egale în care s-a împărțit întregul).
- Clasificarea fracțiilor:
- Subunitară: \( a < b \) (valoarea \( < 1 \)). Exemplu: \( \frac{2}{5} \).
- Echiunitară: \( a = b \) (valoarea \( = 1 \)). Exemplu: \( \frac{7}{7} \).
- Supraunitară: \( a > b \) (valoarea \( > 1 \)). Exemplu: \( \frac{8}{3} \).
- Procentul: Reprezintă o fracție cu numitorul 100. Se notează \( p\% = \frac{p}{100} \). Exemplu: \( 15\% = \frac{15}{100} \).
O unitate fracționară reprezintă o singură parte dintr-un întreg care a fost împărțit în părți egale. Una sau mai multe unități fracționare formează o fracție ordinară.
Forma generală a unei fracții ordinare este:
\[ \frac{a}{b} \]
unde \( a \) și \( b \) sunt numere naturale, cu conditia obligatorie ca numitorul să fie nenul (\( b \neq 0 \)).
Elementele unei fracții ordinare:
- \( a \) (situat deasupra liniei) este numărătorul — arată câte părți egale se iau în considerare;
- linia orizontală este linia de fracție — semnifică operația de împărțire;
- \( b \) (situat dedesubt) este numitorul — arată în câte părți egale s-a împărțit întregul.
- Orice număr natural se poate scrie sub formă de fracție ordinară cu numitorul 1: \( n = \frac{n}{1} \). De exemplu: \( 2 = \frac{8}{4} \) sau \( 3 = \frac{45}{15} \).
- Pentru orice număr natural nenul \( n \), fracția cu numărătorul 0 are valoarea 0: \( \frac{0}{n} = 0 \).
Citirea și scrierea fracțiilor:
- \( \frac{1}{2} \) se citește „o doime”, „o jumătate” sau „unu pe doi”.
- \( \frac{1}{4} \) se citește „o pătrime”, „un sfert” sau „unu pe patru”.
- \( \frac{2}{3} \) se citește „două treimi” sau „doi pe trei”.
- \( \frac{9}{10} \) se citește „nouă zecimi” sau „nouă pe zece”.
Scrieți sub formă de fracție ordinară: „trei optimi” și „cinci noimi”. Identificați numărătorul și numitorul pentru fiecare fracție obținută.
- „Trei optimi” se scrie \( \frac{3}{8} \). Numărătorul este 3, iar numitorul este 8.
- „Cinci noimi” se scrie \( \frac{5}{9} \). Numărătorul este 5, iar numitorul este 9.
Prin compararea numărătorului (\( a \)) cu numitorul (\( b \)), fracțiile ordinare se clasifică în trei categorii:
1. Fracție subunitară: are numărătorul mai mic decât numitorul (\( a < b \)). Valoarea unei astfel de fracții este mai mică decât 1 (\( \frac{a}{b} < 1 \)).
Exemple: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{90}, \frac{n+1}{n+3} \), unde \( n \in \mathbb{N} \).
Exemple: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{90}, \frac{n+1}{n+3} \), unde \( n \in \mathbb{N} \).
2. Fracție echiunitară: are numărătorul egal cu numitorul (\( a = b \)). Valoarea ei este egală cu 1 (\( \frac{a}{b} = 1 \)).
Exemple: \( \frac{2}{2}, \frac{17}{17}, \frac{102}{102} \).
Exemple: \( \frac{2}{2}, \frac{17}{17}, \frac{102}{102} \).
3. Fracție supraunitară: are numărătorul mai mare decât numitorul (\( a > b \)). Valoarea ei este mai mare decât 1 (\( \frac{a}{b} > 1 \)).
Exemple: \( \frac{6}{5}, \frac{14}{9}, \frac{n+7}{n+3} \), unde \( n \in \mathbb{N} \).
Exemple: \( \frac{6}{5}, \frac{14}{9}, \frac{n+7}{n+3} \), unde \( n \in \mathbb{N} \).
Determinați numerele naturale \( n \) pentru care fracția \( \frac{n+2}{5} \) este subunitară.
Pentru ca fracția să fie subunitară, numărătorul trebuie să fie mai mic decât numitorul:
\[ n + 2 < 5 \]
Scăzând 2 din ambii membri ai inegalității, obținem:
\[ n < 3 \]
Deoarece \( n \) este număr natural, valorile posibile sunt:
\[ n \in \{0, 1, 2\} \]
O fracție ordinară care are numitorul egal cu 100 se numește procent.
\[ \frac{p}{100} = p\% \]
Scrierea \( p\% \) se citește „p la sută” sau „p procente”.
Exemple de procente scrise sub formă de fracție:
- \( 3\% = \frac{3}{100} \)
- \( 20\% = \frac{20}{100} \)
- \( 40\% = \frac{40}{100} \)
- \( 100\% = \frac{100}{100} = 1 \) (reprezintă întregul)
Dintr-un total de 100 de pătrățele dintr-un desen, 25 sunt colorate în verde. Scrieți sub formă de fracție ordinară și sub formă de procent partea colorată în verde.
Deoarece avem 25 de pătrățele colorate dintr-un total de 100, fracția ordinară corespunzătoare este:
\[ \frac{25}{100} \]
Exprimată sub formă de procent, aceasta reprezintă:
\[ 25\% \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Clasificați următoarele fracții în subunitare, echiunitare sau supraunitare: \[ \frac{4}{7}, \frac{15}{11}, \frac{8}{8}, \frac{103}{105}, \frac{12}{12}, \frac{9}{2} \]
Clasificați următoarele fracții în subunitare, echiunitare sau supraunitare: \[ \frac{4}{7}, \frac{15}{11}, \frac{8}{8}, \frac{103}{105}, \frac{12}{12}, \frac{9}{2} \]
Analizăm relația dintre numărător și numitor pentru fiecare fracție:
- Fracții subunitare (\( \text{numărător} < \text{numitor} \)): \( \frac{4}{7} \) și \( \frac{103}{105} \).
- Fracții echiunitare (\( \text{numărător} = \text{numitor} \)): \( \frac{8}{8} \) și \( \frac{12}{12} \).
- Fracții supraunitare (\( \text{numărător} > \text{numitor} \)): \( \frac{15}{11} \) și \( \frac{9}{2} \).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Determinați numărul natural \( x \) pentru care fracția \( \frac{3x - 4}{11} \) este echiunitară.
Determinați numărul natural \( x \) pentru care fracția \( \frac{3x - 4}{11} \) este echiunitară.
O fracție este echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul:
\[ 3x - 4 = 11 \]
Adunăm 4 în ambii membri:
\[ 3x = 15 \]
Împărțim la 3:
\[ x = 5 \]
Verificare: pentru \( x = 5 \), fracția devine \( \frac{3 \cdot 5 - 4}{11} = \frac{11}{11} \), care este echiunitară.
Răspuns: \( x = 5 \).
Răspuns: \( x = 5 \).
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați toate numerele naturale \( n \) pentru care fracția \( \frac{2n + 7}{3n + 2} \) este supraunitară.
Determinați toate numerele naturale \( n \) pentru care fracția \( \frac{2n + 7}{3n + 2} \) este supraunitară.
Pentru ca fracția să fie supraunitară, numărătorul trebuie să fie mai mare decât numitorul:
\[ 2n + 7 > 3n + 2 \]
Scădem \( 2n \) din ambii membri ai inegalității:
\[ 7 > n + 2 \]
Scădem 2 din ambii membri:
\[ 5 > n \quad \text{sau, echivalent,} \quad n < 5 \]
Deoarece \( n \) este număr natural, valorile posibile sunt:
\[ n \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \]
Răspuns: \( n \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
