Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli cheie pentru înmulțirea fracțiilor zecimale:
- Cu puteri ale lui 10 (\(10, 100, 1000...\)): se mută virgula spre dreapta. Exemplu: \(1,54 \cdot 10 = 15,4\).
- Cu subunități (\(0,1; 0,01; 0,001...\)): se mută virgula spre stânga. Exemplu: \(34,2 \cdot 0,01 = 0,342\).
- Între ele: se înmulțesc ca numere naturale, iar rezultatul va avea un număr de zecimale egal cu suma numărului de zecimale ale factorilor. Exemplu: \(0,2 \cdot 0,03 = 0,006\) (\(1 + 2 = 3\) zecimale).
La înmulțirea unei fracții zecimale cu o putere a lui 10 (\(10\), \(100\), \(1000\), ...), virgula se mută spre dreapta peste atâtea cifre cât arată numărul de zerouri (sau exponentul lui 10).
Dacă nu sunt cifre suficiente la partea zecimală, se completează cu zerouri la dreapta!
\[ x \cdot 10^n \implies \text{se mută virgula peste } n \text{ poziții la dreapta} \]
- \( 2,34 \cdot 10 = 23,4 \) (virgula s-a mutat peste o poziție)
- \( 2,34 \cdot 1000 = 2,34 \cdot 10^3 = 2340 \) (s-au completat pozițiile lipsă cu un zero)
- \( 0,0345 \cdot 10000 = 345 \) (virgula s-a mutat peste 4 poziții)
Calculați produsul: \( 1,234 \cdot 100 \).
Deoarece \(100\) are două zerouri, mutăm virgula spre dreapta peste două cifre:
\[ 1,234 \cdot 100 = 123,4 \]
La înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr de forma \(0,1\), \(0,01\), \(0,001\) etc., virgula se mută spre stânga peste atâtea cifre câte zecimale are numărul cu care înmulțim.
Dacă nu sunt cifre suficiente în stânga, se completează cu zerouri la stânga.
- \( 2,34 \cdot 0,1 = 0,234 \) (o zecimală, mutăm o poziție la stânga)
- \( 2,34 \cdot 0,01 = 0,0234 \) (două zecimale, mutăm două poziții la stânga)
- \( 3,45 \cdot 0,001 = 0,00345 \) (trei zecimale, mutăm trei poziții la stânga)
Calculați produsul: \( 14,5 \cdot 0,01 \).
Înmulțim cu \(0,01\) (care are două zecimale), deci mutăm virgula spre stânga peste două cifre:
\[ 14,5 \cdot 0,01 = 0,145 \]
Se înmulțesc numerele ca și când ar fi numere naturale, fără a ține cont de virgulă.
La produsul obținut se desparte prin virgulă, numărând de la dreapta spre stânga, atâtea zecimale câte are fracția zecimală inițială.
Pentru a calcula \( 3,46 \cdot 5 \), înmulțim \( 346 \cdot 5 = 1730 \). Deoarece \(3,46\) are două zecimale, rezultatul va avea tot două zecimale:
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
3,46 & \text{(2 zecimale)} \\
\times \quad\ \ \ 5 & \\
\hline
17,30 & \text{(2 zecimale)}
\end{array}
\]
Deci, \( 3,46 \cdot 5 = 17,3 \).
Calculați produsul: \( 0,38 \cdot 11 \).
Efectuăm înmulțirea în coloană fără a ține cont de virgulă:
\[
\begin{array}{r}
38 \\
\times \quad 11 \\
\hline
38 \\
+ \quad 38\ \ \\
\hline
418
\end{array}
\]
Deoarece \(0,38\) are două zecimale, numărăm două cifre de la dreapta la stânga în rezultat și plasăm virgula:
\[ 0,38 \cdot 11 = 4,18 \]
Pentru a înmulți două fracții zecimale finite, se înmulțesc numerele ca și când ar fi numere naturale (fără virgulă). La rezultat se pune virgula numărând de la dreapta spre stânga un număr de cifre egal cu suma numărului de zecimale ale celor două fracții.
Calculul pentru \( 4,56 \cdot 5,4 \):
- \( 4,56 \) are 2 zecimale.
- \( 5,4 \) are 1 zecimală.
- Rezultatul va avea \( 2 + 1 = 3 \) zecimale.
Calculați produsul: \( 2,51 \cdot 0,12 \).
Înmulțim \( 251 \cdot 12 \):
\[ 251 \cdot 12 = 3012 \]
Adunăm numărul de zecimale ale factorilor: \( 2 \text{ zecimale} + 2 \text{ zecimale} = 4 \text{ zecimale} \).
Numărăm 4 cifre de la dreapta spre stânga și adăugăm virgula (completând cu zero în față):
\[ 2,51 \cdot 0,12 = 0,3012 \]
Înmulțirea fracțiilor zecimale finite are aceleași proprietăți ca înmulțirea numerelor naturale:
- Comutativitate: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Asociativitate: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Element neutru (numărul 1): \( a \cdot 1 = a \)
- Distributivitate față de adunare și scădere: \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \] \[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
- Produsul cu 0: \( a \cdot 0 = 0 \)
Calculați simplu folosind asociativitatea: \( 5 \cdot 53,257 \cdot 2 \cdot 10 \).
Grupăm termenii convenabil: \[ (5 \cdot 2 \cdot 10) \cdot 53,257 = (10 \cdot 10) \cdot 53,257 = 100 \cdot 53,257 = 5325,7 \]
Grupăm termenii convenabil: \[ (5 \cdot 2 \cdot 10) \cdot 53,257 = (10 \cdot 10) \cdot 53,257 = 100 \cdot 53,257 = 5325,7 \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Calculați rapid următoarea expresie: \[ E = 12,35 \cdot 100 + 450 \cdot 0,1 \]
Calculați rapid următoarea expresie: \[ E = 12,35 \cdot 100 + 450 \cdot 0,1 \]
Efectuăm fiecare înmulțire pe rând:
- Pentru \( 12,35 \cdot 100 \), mutăm virgula spre dreapta cu 2 poziții: \[ 12,35 \cdot 100 = 1235 \]
- Pentru \( 450 \cdot 0,1 \), mutăm virgula spre stânga cu o poziție: \[ 450 \cdot 0,1 = 45 \]
Problema 2 (Dificultate: Medie)
O sticlă de apă plată cântărește \(0,45\text{ kg}\). Un bax conține 6 astfel de sticle. Cât cântăresc 10 baxuri de apă?
O sticlă de apă plată cântărește \(0,45\text{ kg}\). Un bax conține 6 astfel de sticle. Cât cântăresc 10 baxuri de apă?
Metoda 1:
Numărul total de sticle este \( 6 \cdot 10 = 60 \).
Masa totală este: \[ 0,45 \cdot (6 \cdot 10) = 0,45 \cdot 60 = 4,5 \cdot 6 = 27\text{ kg} \] Răspuns: \( 27\text{ kg} \)
- Aflăm masa unui singur bax înmulțind greutatea unei sticle cu numărul de sticle dintr-un bax: \[ 0,45 \cdot 6 = 2,7\text{ kg} \]
- Aflăm masa totală pentru 10 baxuri: \[ 2,7 \cdot 10 = 27\text{ kg} \]
Numărul total de sticle este \( 6 \cdot 10 = 60 \).
Masa totală este: \[ 0,45 \cdot (6 \cdot 10) = 0,45 \cdot 60 = 4,5 \cdot 6 = 27\text{ kg} \] Răspuns: \( 27\text{ kg} \)
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Știind că \( a + b = 4,3 \) și \( b + c = 5,7 \), calculați valoarea expresiei: \[ E = a + 4b + 3c \]
Știind că \( a + b = 4,3 \) și \( b + c = 5,7 \), calculați valoarea expresiei: \[ E = a + 4b + 3c \]
Putem grupa convenabil termenii expresiei folosind proprietățile adunării și înmulțirii:
\[ E = a + 4b + 3c = a + b + 3b + 3c \]
Grupăm termenii în funcție de sumele cunoscute:
\[ E = (a + b) + 3 \cdot (b + c) \]
Înlocuim valorile cunoscute \( a + b = 4,3 \) și \( b + c = 5,7 \):
\[ E = 4,3 + 3 \cdot 5,7 \]
Efectuăm înmulțirea:
\[ 3 \cdot 5,7 = 17,1 \]
Adunăm rezultatele:
\[ E = 4,3 + 17,1 = 21,4 \]
Răspuns: \( 21,4 \)
