Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli de calcul cu măsuri de unghiuri:
- Relația de bază: \( 1^\circ = 60' \).
- Adunarea: Se adună separat gradele și minutele. Peste \( 60' \), se transformă în grade (Exemplu: \( 40' + 30' = 70' = 1^\circ 10' \)).
- Scăderea: Se scad separat minutele și gradele. La nevoie, se împrumută \( 1^\circ \) ca fiind \( 60' \) (Exemplu: \( 50^\circ 10' - 20^\circ 30' = 49^\circ 70' - 20^\circ 30' = 29^\circ 40' \)).
- Înmulțirea: Se înmulțesc ambele unități cu numărul respectiv și se restrâng minutele (Exemplu: \( 12^\circ 40' \cdot 2 = 24^\circ 80' = 25^\circ 20' \)).
- Împărțirea: Se împart gradele; restul în grade se transformă în minute (\( \cdot 60 \)), se adună la celelalte minute, iar suma se împarte la împărțitor.
Gradul sexagesimal (\(^\circ\)) și minutul sexagesimal (\('\)).
\[ 1^\circ = 60' \]
Un grad sexagesimal este format din 60 de minute sexagesimale.
Pentru a transforma gradele în minute, înmulțim numărul de grade cu 60:
\[ 5^\circ = 5 \cdot 60' = 300' \]
Pentru a transforma minutele în grade, împărțim numărul de minute la 60:
\[ 240' = (240 : 60)^\circ = 4^\circ \]
Adunarea a două măsuri de unghiuri se realizează adunând gradele cu gradele și minutele cu minutele. Dacă suma minutelor obținute depășește sau este egală cu \(60'\), atunci se transformă minutele în grade, adăugând gradul (sau gradele) obținut la suma gradelor.
Calculați: \( 75^\circ 43' + 75^\circ 53' \)
1. Adunăm minutele: \( 43' + 53' = 96' \)
2. Adunăm gradele: \( 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ \)
3. Deoarece \( 96' \ge 60' \), transformăm minutele în grade și minute: \[ 96' = 60' + 36' = 1^\circ 36' \]
4. Adunăm gradul rezultat la totalul gradelor: \[ 150^\circ + 1^\circ 36' = 151^\circ 36' \]
1. Adunăm minutele: \( 43' + 53' = 96' \)
2. Adunăm gradele: \( 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ \)
3. Deoarece \( 96' \ge 60' \), transformăm minutele în grade și minute: \[ 96' = 60' + 36' = 1^\circ 36' \]
4. Adunăm gradul rezultat la totalul gradelor: \[ 150^\circ + 1^\circ 36' = 151^\circ 36' \]
Scăderea se realizează scăzând gradele din grade și minutele din minute. Dacă numărul de minute de la descăzut este mai mic decât cel de la scăzător, ne împrumutăm cu un grad (\(1^\circ = 60'\)) de la grade, îl adunăm la minutele existente și apoi efectuăm scăderile.
Calculați: \( 98^\circ 20' - 64^\circ 32' \)
Deoarece nu putem scădea \(32'\) din \(20'\), ne împrumutăm cu \(1^\circ\) de la \(98^\circ\):
1. Minutele descăzutului devin: \( 20' + 60' = 80' \)
2. Gradele descăzutului rămân: \( 98^\circ - 1^\circ = 97^\circ \)
3. Scădem minutele: \( 80' - 32' = 48' \)
4. Scădem gradele: \( 97^\circ - 64^\circ = 33^\circ \)
5. Rezultatul final este: \( 33^\circ 48' \)
Deoarece nu putem scădea \(32'\) din \(20'\), ne împrumutăm cu \(1^\circ\) de la \(98^\circ\):
1. Minutele descăzutului devin: \( 20' + 60' = 80' \)
2. Gradele descăzutului rămân: \( 98^\circ - 1^\circ = 97^\circ \)
3. Scădem minutele: \( 80' - 32' = 48' \)
4. Scădem gradele: \( 97^\circ - 64^\circ = 33^\circ \)
5. Rezultatul final este: \( 33^\circ 48' \)
Înmulțirea se face înmulțind cu acel număr atât gradele, cât și minutele. Dacă numărul de minute obținut în urma înmulțirii depășește \(60'\), se transformă minutele în grade și se adaugă la totalul gradelor.
Calculați: \( 27^\circ 44' \cdot 3 \)
1. Înmulțim minutele: \( 44' \cdot 3 = 132' \)
2. Transformăm minutele în grade și minute: \[ 132' = 120' + 12' = 2^\circ 12' \]
3. Înmulțim gradele: \( 27^\circ \cdot 3 = 81^\circ \)
4. Adunăm gradele obținute din transformare: \( 81^\circ + 2^\circ = 83^\circ \)
5. Rezultatul final este: \( 83^\circ 12' \)
1. Înmulțim minutele: \( 44' \cdot 3 = 132' \)
2. Transformăm minutele în grade și minute: \[ 132' = 120' + 12' = 2^\circ 12' \]
3. Înmulțim gradele: \( 27^\circ \cdot 3 = 81^\circ \)
4. Adunăm gradele obținute din transformare: \( 81^\circ + 2^\circ = 83^\circ \)
5. Rezultatul final este: \( 83^\circ 12' \)
Se împart mai întâi gradele la numărul natural.
Dacă la împărțirea gradelor rămâne un rest, acesta se transformă în minute (prin înmulțire cu 60) și se adaugă la minutele existente din deîmpărțit.
Se împarte numărul total de minute obținut la numărul natural respectiv.
Calculați: \( 47^\circ 32' : 2 \)
1. Împărțim gradele: \( 47^\circ : 2 = 23^\circ \) rest \( 1^\circ \)
2. Transformăm restul în minute și îl adunăm la cele existente: \[ 1^\circ = 60' \implies 60' + 32' = 92' \]
3. Împărțim minutele obținute: \( 92' : 2 = 46' \)
4. Rezultatul final este: \( 23^\circ 46' \)
1. Împărțim gradele: \( 47^\circ : 2 = 23^\circ \) rest \( 1^\circ \)
2. Transformăm restul în minute și îl adunăm la cele existente: \[ 1^\circ = 60' \implies 60' + 32' = 92' \]
3. Împărțim minutele obținute: \( 92' : 2 = 46' \)
4. Rezultatul final este: \( 23^\circ 46' \)
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate mică): Transformă măsura unghiului \( 3^\circ 25' \) în minute sexagesimale.
Știm că \( 1^\circ = 60' \).
Înmulțim numărul de grade cu 60 și adăugăm minutele existente: \[ 3^\circ 25' = 3 \cdot 60' + 25' = 180' + 25' = 205' \] Răspuns: \( 205' \)
Înmulțim numărul de grade cu 60 și adăugăm minutele existente: \[ 3^\circ 25' = 3 \cdot 60' + 25' = 180' + 25' = 205' \] Răspuns: \( 205' \)
Problema 2 (Dificultate medie): Efectuează calculul: \( 123^\circ 26' - 59^\circ 36' \).
Deoarece la minute avem \( 26' < 36' \), ne împrumutăm cu \( 1^\circ \) de la grade:
1. Gradele devin: \( 123^\circ - 1^\circ = 122^\circ \)
2. Minutele devin: \( 26' + 60' = 86' \)
3. Efectuăm scăderea pe coloane: \[ 122^\circ 86' - 59^\circ 36' = (122 - 59)^\circ (86 - 36)' = 63^\circ 50' \] Răspuns: \( 63^\circ 50' \)
1. Gradele devin: \( 123^\circ - 1^\circ = 122^\circ \)
2. Minutele devin: \( 26' + 60' = 86' \)
3. Efectuăm scăderea pe coloane: \[ 122^\circ 86' - 59^\circ 36' = (122 - 59)^\circ (86 - 36)' = 63^\circ 50' \] Răspuns: \( 63^\circ 50' \)
Problema 3 (Dificultate medie): Un unghi are măsura de \( 16^\circ 30' \). Determină măsura unghiului de 5 ori mai mare decât acesta.
Trebuie să înmulțim măsura unghiului cu 5:
\[ (16^\circ 30') \cdot 5 \]
1. Înmulțim minutele: \( 30' \cdot 5 = 150' \)
2. Transformăm minutele în grade: \( 150' = 120' + 30' = 2^\circ 30' \)
3. Înmulțim gradele: \( 16^\circ \cdot 5 = 80^\circ \)
4. Adunăm gradele rezultate: \( 80^\circ + 2^\circ = 82^\circ \)
5. Rezultatul final este: \( 82^\circ 30' \) Răspuns: \( 82^\circ 30' \)
2. Transformăm minutele în grade: \( 150' = 120' + 30' = 2^\circ 30' \)
3. Înmulțim gradele: \( 16^\circ \cdot 5 = 80^\circ \)
4. Adunăm gradele rezultate: \( 80^\circ + 2^\circ = 82^\circ \)
5. Rezultatul final este: \( 82^\circ 30' \) Răspuns: \( 82^\circ 30' \)
Problema 4 (Dificultate ridicată): Împărțiți măsura unghiului \( 127^\circ 45' \) la 5.
Urmăm pașii pentru împărțire:
1. Împărțim gradele la 5: \[ 127^\circ : 5 = 25^\circ \text{ rest } 2^\circ \]
2. Transformăm restul de \( 2^\circ \) în minute: \[ 2^\circ = 2 \cdot 60' = 120' \]
3. Adunăm la minutele deîmpărțitului: \[ 120' + 45' = 165' \]
4. Împărțim minutele obținute la 5: \[ 165' : 5 = 33' \]
5. Măsura obținută este: \( 25^\circ 33' \) Răspuns: \( 25^\circ 33' \)
1. Împărțim gradele la 5: \[ 127^\circ : 5 = 25^\circ \text{ rest } 2^\circ \]
2. Transformăm restul de \( 2^\circ \) în minute: \[ 2^\circ = 2 \cdot 60' = 120' \]
3. Adunăm la minutele deîmpărțitului: \[ 120' + 45' = 165' \]
4. Împărțim minutele obținute la 5: \[ 165' : 5 = 33' \]
5. Măsura obținută este: \( 25^\circ 33' \) Răspuns: \( 25^\circ 33' \)
