Cele mai importante aspecte ale lecției
- Pentru a înmulți un număr natural cu o fracție ordinară, înmulțim numărul natural doar cu numărătorul fracției, în timp ce numitorul rămâne neschimbat: \[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \]
- Este întotdeauna recomandat să simplificăm fracția obținută la final, dacă aceasta nu este deja ireductibilă.
- Exemplu rapid: \( 6 \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{9}^{(3} = \frac{10}{3} \).
Înmulțirea unui număr natural cu o fracție ordinară poate fi privită ca o adunare repetată a acelei fracții de atâtea ori cât indică numărul natural.
Pentru a calcula produsul dintre numărul natural \(3\) și fracția ordinară \(\frac{2}{7}\), adunăm fracția cu ea însăși de 3 ori:
\[ 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2 + 2 + 2}{7} = \frac{6}{7} \]
Observăm că rezultatul este echivalent cu înmulțirea numărului \(3\) direct cu numărătorul fracției:
\[ \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7} \]
Scrieți sub formă de înmulțire și calculați suma: \(\frac{4}{15} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15}\).
Suma are 3 termeni egali, deci se poate scrie ca:
\[ 3 \cdot \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 4}{15} = \frac{12}{15} \]
Simplificând fracția obținută prin \(3\), rezultatul final este:
\[ \frac{12}{15}^{(3} = \frac{4}{5} \]
Produsul dintre un număr natural și o fracție ordinară este o fracție în care:
- numărătorul este egal cu produsul dintre acel număr natural și numărătorul fracției date;
- numitorul rămâne același cu numitorul fracției date.
\[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \]
unde \(n\), \(a\) și \(b\) sunt numere naturale, cu \(b \neq 0\).
Înmulțirea este comutativă, ceea ce înseamnă că ordinea factorilor nu schimbă rezultatul:
\[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b} \]
- \( 7 \cdot \frac{3}{25} = \frac{7 \cdot 3}{25} = \frac{21}{25} \)
- \( \frac{4}{15} \cdot 5 = \frac{4 \cdot 5}{15} = \frac{20}{15}^{(5} = \frac{4}{3} \) (după simplificare prin 5)
Calculați \( 6 \cdot \frac{3}{11} \).
Aplicând regula de înmulțire, obținem:
\[ 6 \cdot \frac{3}{11} = \frac{6 \cdot 3}{11} = \frac{18}{11} \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Calculați produsul \( 5 \cdot \frac{3}{17} \).
Aplicăm regula de înmulțire a unui număr natural cu o fracție ordinară:
\[ 5 \cdot \frac{3}{17} = \frac{5 \cdot 3}{17} = \frac{15}{17} \]
Deoarece 15 și 17 nu au divizori comuni în afară de 1, fracția este ireductibilă.
Problema 2 (Medie): Într-o sticlă încap \(\frac{3}{4}\) dintr-un litru de apă. Câți litri de apă se află în 8 astfel de sticle pline?
Pentru a afla volumul total de apă, înmulțim numărul de sticle cu capacitatea uneia singure:
\[ 8 \cdot \frac{3}{4} \text{ litri} \]
Efectuăm calculul:
\[ 8 \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{4} = \frac{24}{4} \]
Deoarece linia de fracție reprezintă o împărțire:
\[ \frac{24}{4} = 24 : 4 = 6 \]
Răspuns: În cele 8 sticle se află în total 6 litri de apă.
Problema 3 (Dificilă): Calculați rezultatul expresiei: \( E = 4 \cdot \frac{5}{12} + 2 \cdot \frac{1}{6} \). Scrieți rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.
Efectuăm mai întâi cele două înmulțiri:
\[ 4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{4 \cdot 5}{12} = \frac{20}{12} \]
Simplificăm prin 4:
\[ \frac{20}{12}^{(4} = \frac{5}{3} \]
Pentru a doua înmulțire:
\[ 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 1}{6} = \frac{2}{6} \]
Simplificăm prin 2:
\[ \frac{2}{6}^{(2} = \frac{1}{3} \]
Acum adunăm cele două rezultate obținute:
\[ E = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5 + 1}{3} = \frac{6}{3} \]
Efectuăm împărțirea:
\[ 6 : 3 = 2 \]
Răspuns: \( E = 2 \).
